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आवधिक फ़ंक्शन: सामान्य अवधारणाएं

अक्सर विभिन्न पदार्थों के प्रकृति, रासायनिक और भौतिक गुणों के साथ-साथ जटिल तकनीकी समस्याओं को हल करने की घटनाओं का अध्ययन करते समय, किसी को समय-सारिणी की प्रक्रियाओं का सामना करना पड़ता है, जो कि एक निश्चित अवधि के बाद दोहराने की प्रवृत्ति है। विज्ञान में ऐसी चक्रीयता के वर्णन और ग्राफ़िक प्रतिनिधित्व के लिए एक विशेष प्रकार का कार्य-एक आवधिक फ़ंक्शन मौजूद है।

सबसे आसान और सबसे ज्यादा समझने वाला उदाहरण सूर्य के चारों ओर हमारे ग्रह का उलटा है, जिसमें हर समय उनके बीच भिन्न-भिन्न दूरी वार्षिक चक्र का पालन करती है। उसी तरह, टरबाइन ब्लेड अपनी जगह पर वापस आ जाता है, जिससे पूरी क्रांति होती है। ऐसी सभी प्रक्रियाओं को एक आवर्ती फ़ंक्शन के रूप में ऐसे गणितीय मूल्य से वर्णित किया जा सकता है। और बड़ी, हमारी पूरी दुनिया चक्रीय है इसका मतलब यह है कि आवधिक फ़ंक्शन मानव निर्देशांक की प्रणाली में भी एक महत्वपूर्ण स्थान पर है।

संख्या सिद्धांत, टोपोलॉजी, अंतर समीकरणों और सटीक ज्यामितीय गणनाओं में गणितीय विज्ञान की आवश्यकता ने उन्नीसवीं शताब्दी में असामान्य गुणों के साथ एक नई श्रेणी के कार्यों की उपस्थिति का नेतृत्व किया। वे आवधिक कार्य हैं जो जटिल परिवर्तनों के परिणामस्वरूप कुछ बिंदुओं पर समान मूल्य लेते हैं। अब वे गणित और अन्य विज्ञान के कई शाखाओं में लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, लहर भौतिकी में विभिन्न कंपन प्रभावों का अध्ययन करने में

विभिन्न गणितीय पाठ्यपुस्तकों में आवधिक कार्य के विभिन्न परिभाषाएं दी गई हैं। हालांकि, योगों में इन विसंगतियों की परवाह किए बिना, वे सभी समान हैं, क्योंकि वे फ़ंक्शन के समान गुणों का वर्णन करते हैं । निम्नलिखित परिभाषा सरल और सबसे समझदार हो सकती है। कार्य जिनके संख्यात्मक मान परिवर्तन के अधीन नहीं हैं, यदि हम उनके तर्क में शून्य से एक निश्चित संख्या को जोड़ते हैं, तो फ़ंक्शन के तथाकथित अवधि, पत्र टी द्वारा दर्शाया गया है, आवधिक कहा जाता है। व्यवहार में इसका क्या मतलब है?

उदाहरण के लिए, फॉर्म का एक सरल कार्य: y = f (x) मामले में आवधिक हो जाता है जब एक्स में अवधि (टी) का निश्चित मूल्य होता है। इस परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि यदि किसी अवधि (टी) वाले किसी फ़ंक्शन के संख्यात्मक मूल्य को अंक (x) में परिभाषित किया जाता है, तो इसका मान भी एक्स + टी, एक्स = टी के बिंदु पर जाना जाता है। यहां एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि टी शून्य के बराबर फ़ंक्शन एक पहचान बन जाता है आवधिक फ़ंक्शंस में भिन्न अवधि की अनंत संख्या हो सकती है टी के सकारात्मक मूल्यों के बीच अधिकांश मामलों में सबसे छोटी संख्यात्मक सूचकांक है इसे मुख्य अवधि कहा जाता है और टी के अन्य सभी मूल्य हमेशा इसके एक से अधिक होते हैं। यह विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के लिए एक और दिलचस्प और महत्वपूर्ण संपत्ति है।

आवधिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कई विलक्षणताएं भी हैं उदाहरण के लिए, यदि टी अभिव्यक्ति की मुख्य अवधि है: y = f (x), तब किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ का निर्माण करते समय, अवधि की लंबाई के अंतरालों में से किसी एक पर एक शाखा बनाने के लिए पर्याप्त है, और फिर इसे एक्स अक्ष के साथ निम्न मानों पर स्थानांतरित करें: ± T, ± 2T , ± 3 टी और इतने पर। अंत में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हर आवधिक कार्य में आधार अवधि नहीं होती है। इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण जर्मन गणितज्ञ डार्चेलेट का निम्न स्वरूप है: y = d (x)।

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