एक द्विघात समीकरण की जड़ों: बीजीय और ज्यामितीय अर्थ

बीजगणित वर्ग में एक दूसरा आदेश समीकरण कहा जाता है। समीकरण द्वारा एक गणितीय अभिव्यक्ति है, जो एक या अधिक अज्ञात की अपनी संरचना में है मतलब। दूसरे क्रम समीकरण - एक गणितीय समीकरण कम से कम एक वर्ग डिग्री में अज्ञात है। द्विघात समीकरण - दूसरे क्रम समीकरण से पता चला पहचान शून्य के बराबर मतलब करने के लिए। समाधान समीकरण वर्ग एक ही कि समीकरण के वर्ग जड़ों निर्धारित है। सामान्य रूप में विशिष्ट द्विघात समीकरण:

डब्ल्यू * ग ^ 2 + टी * ग + O = 0

जिसमें डब्ल्यू, टी - द्विघात समीकरण के मूल के गुणांक;

हे - मुफ्त गुणांक;

c - द्विघात की जड़ समीकरण (हमेशा दो मानों C1 और C2 है)।

पहले से ही उल्लेख किया है, एक द्विघात समीकरण को हल करने की समस्या - एक द्विघात समीकरण की जड़ों की खोज। उन्हें खोजने के लिए, आप एक विभेदक खोजने की जरूरत है:

एन = टी ^ 2 - 4 * डब्ल्यू * हे

विभेदक समाधान जड़ C1 और C2 को खोजने के लिए आवश्यक सूत्र:

c1 = (टी + √n) / 2 * डब्ल्यू और c2 = (टी - √n) / 2 * डब्ल्यू

टी की जड़ में सामान्य रूप कारक की द्विघात समीकरण एक से अधिक मान है, तो समीकरण द्वारा बदल दिया जाता है:

डब्ल्यू * ग ^ 2 + 2 * U * ग + O = 0

और अपनी जड़ों अभिव्यक्ति की तरह लग रहे:

c1 = [यू + √ (यू ^ 2-W * ओ)] / डब्ल्यू और c2 = [यू - √ (यू ^ 2-W * ओ)] / डब्ल्यू

जब C_2 कोई गुणांक डब्ल्यू इस मामले में हो सकता है अक्सर समीकरण एक अलग उपस्थिति हो सकता है, उपरोक्त समीकरण रूप है:

ग ^ 2 + F * ग + L = 0

जहां एफ - जड़ में कारक;

एल - मुक्त कारक;

c - की जड़ वर्ग (हमेशा दो मानों C1 और C2 है)।

समीकरण के इस प्रकार दिया एक द्विघात समीकरण कहा जाता है। नाम "कम", सूत्र प्रवर्तन ठेठ द्विघात समीकरण से चला गया है, तो डब्ल्यू जड़ के गुणांक से एक के एक मूल्य है। इस मामले में, द्विघात समीकरण की जड़ों:

c1 = एफ / 2 + √ [(एफ / 2) ^ 2-एल)] और c2 = एफ / 2 - √ [(एफ / 2) ^ 2-एल)]

एफ जड़ जड़ों के गुणांक के भी मूल्यों के मामले में एक समाधान होगा:

c1 = एफ + √ (एफ ^ 2-एल) c2 = एफ - √ (एफ ^ 2-एल)

अगर हम द्विघात समीकरण के बारे में बात करते हैं, यह याद करने के लिए आवश्यक है Vieta की प्रमेय। यह कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण के लिए निम्नलिखित कानून:

ग ^ 2 + F * ग + L = 0

c1 + c2 = एफ और c1 * c2 = एल

सामान्य द्विघात समीकरण में द्विघात समीकरण जड़ों संबंधित निर्भरता हैं:

डब्ल्यू * ग ^ 2 + टी * ग + O = 0

c1 + c2 = -टी / डब्ल्यू और c1 * c2 = हे / डब्ल्यू

अब द्विघात समीकरण और उनके समाधान के विकल्पों पर विचार। वे सब के सब दो हो सकता है, के रूप में अगर c_2 के एक सदस्य याद आ रही है, तो समीकरण वर्ग नहीं होगा। इसलिए:

1. डब्ल्यू * ग ^ 2 + टी * ग बिना मुक्त कारक (सदस्य) द्विघात समीकरण अवतार के = 0।

समाधान है:

डब्ल्यू * ग ^ 2 = -टी * ग

c1 = 0, सी 2 = -टी / डब्ल्यू

2. डब्ल्यू * ग ^ 2 + हे = दूसरे कार्यकाल के बिना द्विघात समीकरण अवतार 0, जब एक ही द्विघात समीकरण की जड़ों सापेक्ष।

समाधान है:

डब्ल्यू * ग ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / डब्ल्यू), सी 2 = - √ (-O / डब्ल्यू)

यह सब बीजगणित था। ज्यामितीय जिसका अर्थ है एक द्विघात समीकरण है पर विचार करें। ज्यामिति में दूसरा आदेश समीकरण एक परवलय समारोह से वर्णन किया गया है। अक्सर कार्य उच्च विद्यालय के छात्रों के लिए एक द्विघात समीकरण की जड़ों को मिल रहा है? क्षैतिज - इन जड़ों कैसे समन्वय अक्ष के साथ ग्राफ समारोह (परवलय) एक दूसरे को काटना करने की अवधारणा को दे। द्विघात समीकरण का निर्णय लिया, तो हम जड़ों की तर्कहीन निर्णय मिलता है, तो चौराहे नहीं होगा। जड़ एक भौतिक मान है, तो समारोह एक ही स्थान पर X- अक्ष पार करती है। यदि दो जड़ों, तो क्रमश: - चौराहे के दो अंक।

यह ध्यान देने योग्य है कि के तहत तर्कहीन जड़ों जड़ के नीचे एक नकारात्मक मूल्य नहीं दिखाते, जड़ खोजने में लायक है। शारीरिक मूल्य - किसी भी सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य। केवल एक ही जड़ खोजने के मामले में मतलब ही की जड़ों कि। एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में वक्र के उन्मुखीकरण भी डब्ल्यू जड़ों और टी के गुणांकों द्वारा पूर्व-निर्धारित किया जा सकता डब्ल्यू एक सकारात्मक मान है, तो परवलय की दो शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित कर रहे हैं। नीचे की ओर - डब्ल्यू एक नकारात्मक मूल्य, है। अनंत को "+" अनंत, शून्य करने के लिए शून्य से अनंत की सीमा में "सी" - इसके अलावा, अगर गुणांक बी एक सकारात्मक संकेत है, जिसमें डब्ल्यू भी सकारात्मक है, परवलय समारोह के शिखर से "y" के भीतर है ""। अगर टी - सकारात्मक मूल्य, और डब्ल्यू - भुज के दूसरे पक्ष पर नकारात्मक है,।