संजात संख्या: गणना के तरीकों और उदाहरण

शायद व्युत्पन्न की अवधारणा उच्च विद्यालय के बाद से हम सभी के लिए परिचित है। आमतौर पर छात्रों को कठिनाई को समझने के लिए इस निस्संदेह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है। यह सक्रिय रूप से लोगों के जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में प्रयोग किया जाता है, और कई इंजीनियरिंग ठीक गणितीय गणना व्युत्पन्न द्वारा प्राप्त पर आधारित थे। लेकिन क्या नंबर की एक व्युत्पन्न है के रूप में वे की गणना करने और जहां वे काम में आ जाएगा, इतिहास में एक छोटा सा गड्ढा के एक विश्लेषण करने के लिए आगे बढ़ने से पहले।

कहानी

व्युत्पन्न की अवधारणा है, जो गणितीय विश्लेषण का आधार है, खुला (और भी बेहतर कहने के लिए 'आविष्कार' क्योंकि यह है, जैसे, प्रकृति में मौजूद नहीं है) Isaakom Nyutonom, जो हम सभी गुरुत्वाकर्षण के कानून की खोज से पता था। यह वही था जिसने पहले की गति और निकायों के त्वरण के बंधन प्रकृति के लिए भौतिक विज्ञान में इस अवधारणा का इस्तेमाल किया था। और कई वैज्ञानिकों ने अभी भी इस शानदार आविष्कार के लिए न्यूटन प्रशंसा क्योंकि वास्तव में वह अवकलन और समाकलन कलन, गणित "गणितीय विश्लेषण" कहा जाता है के पूरे क्षेत्र की तथ्यात्मक आधार के आधार का आविष्कार किया। समय नोबेल पुरस्कार पर हैं, न्यूटन संभावना यह कई बार प्राप्त हुआ होगा।

नहीं अन्य महान दिमाग के बिना। लिओनहार्ड यूलर, Lagrange और लुई गोतफ्रिड Leybnits के रूप में गणित के व्युत्पन्न और अभिन्न काम किया जैसे प्रतिष्ठित प्रतिभाएं के विकास पर न्यूटन के अलावा। यह धन्यवाद है उन्हें हम के सिद्धांत है अंतर कलन रूप है, जिसमें यह इस दिन के लिए मौजूद है। संयोग से, इस लाइबनिट्स व्युत्पन्न है, जो समारोह का ग्राफ को स्पर्श की ढलान से ज्यादा कुछ नहीं था के ज्यामितीय अर्थ की खोज की है।

संख्याओं की एक व्युत्पन्न क्या है? बिट दोहराने क्या स्कूल में हुई।

एक व्युत्पन्न क्या है?

कई अलग अलग तरीकों से इस अवधारणा को परिभाषित करें। सरल व्याख्या: संजात - यह परिवर्तन समारोह की दर है। एक्स के किसी भी समारोह y के ग्राफ का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि यह सीधे नहीं है, यह ग्राफ में कुछ घटता, वृद्धि और कमी की अवधि है। आप निर्धारित समय से किसी भी अत्यल्प अंतराल लेते हैं, यह एक सीधी रेखा खंड हो जाएगा। तो, एक्स के आकार करने के लिए y के एक छोटे से क्षेत्र के आकार के अनुपात में समन्वय, और एक भी बिंदु पर समारोह की एक व्युत्पन्न किया जाएगा। अगर हम एक समग्र रूप से समारोह, बल्कि एक विशिष्ट बिंदु पर से विचार करें, हम व्युत्पन्न के एक समारोह को प्राप्त, एक्स y पर एक निश्चित निर्भरता यानी।

इसके अलावा, अलग परिवर्तन की दर के एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ से, वहाँ भी एक ज्यामितीय भावना है। यह पर, हम अब चर्चा की।

ज्यामितीय अर्थ

संजात संख्या खुद को एक निश्चित संख्या है कि एक उचित समझ कोई अर्थ नहीं होता है। यह पता चला है कि व्युत्पन्न न केवल विकास दर या समारोह में कमी, और उस बिंदु पर समारोह का ग्राफ को स्पर्श की ढलान को दर्शाता है। पूरी तरह स्पष्ट नहीं परिभाषा। हमें विस्तार से यह जांच करते हैं। मान लीजिए कि हमें एक समारोह का ग्राफ है (ब्याज वक्र लेने के लिए)। यह अंक की एक अनंत संख्या है, लेकिन वहाँ ऐसे क्षेत्र हैं जहां केवल एक ही बिंदु एक अधिकतम या न्यूनतम है कर रहे हैं। इस तरह के किसी भी बिंदु के माध्यम से, आप एक सीधी रेखा है, जो उस बिंदु पर समारोह का ग्राफ करने के लिए खड़ा किया जाएगा आकर्षित कर सकते हैं। यह पंक्ति एक स्पर्श बुलाया जाएगा। मान लीजिए कि हमें यह अक्ष OX साथ चौराहे पर निर्भर का आयोजन किया। तो स्पर्श और अक्ष बैल और कोण के बीच प्राप्त व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किया जाएगा। अधिक विशेष रूप से, इस कोण की स्पर्शज्या यह बराबर होगा।

की विशेष मामलों के बारे में थोड़ा बात करते हैं और डेरिवेटिव हमें संख्या की जांच करें।

विशेष मामलों

हम पहले से ही उल्लेख किया है के रूप में, संख्या के डेरिवेटिव - एक खास बिंदु पर एक व्युत्पन्न मूल्य। यहाँ, उदाहरण के लिए, समारोह y = एक्स ^{2 ले।} एक्स के व्युत्पन्न - संख्या है, लेकिन सामान्य रूप में - एक समारोह के लिए 2 * एक्स बराबर। हम, उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न गणना करने के लिए बिंदु x ₀ = 1 पर की जरूरत है, हम y प्राप्त '(1) = 2 * 1 = 2। यह बहुत आसान है। एक दिलचस्प मामला व्युत्पन्न है जटिल संख्या की। क्या एक जटिल संख्या के विस्तृत विवरण में जाने के लिए, हम नहीं करेंगे। इतना ही कहना है कि यह संख्या जो तथाकथित काल्पनिक इकाई शामिल हैं - संख्या जिसका वर्ग -1 के बराबर होती है। इस व्युत्पन्न की गणना निम्नलिखित परिस्थितियों में ही संभव है:

1) वहाँ y और एक्स के वास्तविक और काल्पनिक भागों के पहले के आदेश आंशिक डेरिवेटिव होना चाहिए

2) कॉची-Riemann की शर्तों समानता आंशिक पहले पैराग्राफ में वर्णित के साथ जुड़े।

एक और दिलचस्प मामला है, हालांकि के रूप में नहीं पिछले एक के रूप में जटिल, एक नकारात्मक संख्या का एक व्युत्पन्न है। वास्तव में, किसी भी नकारात्मक संख्या -1 से गुणा, एक सकारात्मक रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। खैर, व्युत्पन्न और निरंतर समारोह एक निरंतर समारोह के व्युत्पन्न से गुणा के बराबर।

यह अपने दैनिक जीवन में डेरिवेटिव की भूमिका के बारे में जानने के लिए दिलचस्प हो जाएगा, और यह अब है और यह चर्चा की।

आवेदन

हम में से शायद प्रत्येक में कम से कम जीवन में एक बार यह सोच कर कि गणित उसे करने के लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है अपने आप को पकड़ने के। और व्युत्पन्न के रूप में इस तरह के एक जटिल बात शायद किसी काम का नहीं है। वास्तव में, गणित - मौलिक विज्ञान, और अपने सभी फल मुख्य रूप से भौतिकी, रसायन शास्त्र, खगोल विज्ञान और यहां तक कि अर्थव्यवस्था विकसित करता है। व्युत्पन्न की शुरुआत की गणितीय विश्लेषण, जो हमें कार्यों का रेखांकन से निष्कर्ष आकर्षित करने का अवसर दिया है, और हम प्रकृति के नियमों की व्याख्या और इसकी वजह से अपने लाभ के लिए उन्हें चालू करने के सीखा है।

निष्कर्ष

बेशक, हर कोई वास्तविक जीवन में व्युत्पन्न करने के लिए उपयोगी हो सकता है। लेकिन गणित तर्क यह है कि निश्चित रूप से की आवश्यकता होगी विकसित करता है। नहीं कुछ नहीं के लिए क्योंकि गणित विज्ञान की रानी कहा जाता है: यह ज्ञान के अन्य क्षेत्रों की बुनियादी समझ से मिलकर बनता है।