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एक के कार्यों और कई चर का अंतर पथरी

अंतर कलन गणितीय विश्लेषण है, जो व्युत्पन्न, भिन्नता और कार्यों का अध्ययन में उनके उपयोग की जांच करता है की एक शाखा है।

की कहानी

अंतर कलन 17 वीं सदी की दूसरी छमाही में एक स्वतंत्र विषय के रूप में उभरा है, न्यूटन और लीबनीज, जो भिन्नता की गणना में बुनियादी प्रावधानों तैयार की और एकीकरण और भेदभाव के बीच संबंध देखा का काम करने के लिए धन्यवाद। अनुशासन के बाद से वह अभिन्न की गणना के साथ साथ विकसित की है, जिससे गणितीय विश्लेषण के आधार बनता है। इन पथरी की उपस्थिति गणितीय दुनिया में एक नया आधुनिक काल खोला और विज्ञान के क्षेत्र में नए विषयों के उद्भव का कारण बना। इसके अलावा प्राकृतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग में गणित को लागू करने की संभावना बढ़ा दिया।

बुनियादी अवधारणाओं

अंतर कलन गणित के मूलभूत अवधारणाओं पर आधारित है। वे हैं: एक वास्तविक संख्या, निरंतरता और फंक्शन की सीमा। एक समय के बाद, वे एक आधुनिक रूप ले लिया है, अभिन्न और अंतर पथरी के लिए धन्यवाद।

बनाने की प्रक्रिया

एक आवेदन के रूप में, और उसके बाद वैज्ञानिक पद्धति में अंतर पथरी के गठन दार्शनिक सिद्धांत, निकोले Kuzansky द्वारा बनाया गया था जो के उद्भव से पहले हुई। उनका काम फैसले के प्राचीन विज्ञान से एक विकासवादी विकास माना जाता है। तथ्य यह है कि दार्शनिक खुद एक गणितज्ञ नहीं था के बावजूद, गणितीय विज्ञान के विकास में उनके योगदान को नकारा नहीं जा सकता है। Cusa, सबसे सटीक विज्ञान के रूप में गणित के विचार के पहले बाहर से एक, गणित प्रश्न में समय लगाने।

प्राचीन गणितज्ञों में सार्वभौमिक कसौटी, एक इकाई था, जबकि दार्शनिक एक नया उपाय अनंत के रूप में प्रस्तावित सही संख्या लौटने। गणितीय विज्ञान के क्षेत्र में सटीकता की इस औंधा प्रतिनिधित्व के संबंध में। वैज्ञानिक ज्ञान, उनके विचार में, तर्कसंगत और बुद्धिमान में बांटा गया है। दूसरे के बाद से पूर्व केवल अनुमानित परिणाम देता है, और अधिक सटीक है वैज्ञानिक के अनुसार।

विचार

मूल विचार और कुछ बिंदुओं का एक छोटा सा पड़ोस में समारोह के साथ जुड़े अंतर पथरी की अवधारणा। इस के लिए यह एक गणितीय तंत्र के अध्ययन रैखिक कार्य है या एक बहुपद के व्यवहार के करीब स्थापित अंक की एक छोटी पड़ोस में जिसका व्यवहार कार्य करने के लिए बनाने के लिए आवश्यक है। व्युत्पन्न और अंतर की इस परिभाषा के आधार पर।

के उद्भव व्युत्पन्न की अवधारणा प्राकृतिक विज्ञान और गणित की समस्याओं, जो एक ही प्रकार के सीमा मूल्यों के निर्धारण के लिए नेतृत्व की एक बड़ी संख्या की वजह से किया गया था।

मुख्य कार्य है कि एक उदाहरण के रूप में दिया जाता, सबसे पुराना स्कूल कक्षाओं के साथ शुरू में से एक, एक सीधी रेखा है और इस अवस्था को स्पर्श लाइन के निर्माण में एक बिंदु की गति की गति निर्धारित करने के लिए है। अंतर इस से जुड़ा हुआ है, क्योंकि यह एक रेखीय समारोह की बात की एक छोटी पड़ोस में समारोह अनुमान लगाने के लिए संभव है।

एक वास्तविक चर के एक समारोह के व्युत्पन्न की अवधारणा के साथ तुलना में, भिन्नता की परिभाषा बस सामान्य प्रकृति के समारोह पर विशेष रूप से दूसरे करने के लिए एक इयूक्लिडियन स्थान की छवि से गुजरता है,।

यौगिक

y- अक्ष की दिशा में बिंदु चाल चलो, समय के लिए हम एक्स, जो एक पल की शुरुआत से मापा जाता है ले लो। इस तरह के एक आंदोलन का वर्णन समारोह y = f (x) है, जो हर बार बिंदु एक्स जुड़ा हुआ है displaceable बिंदु समन्वय के द्वारा ही संभव है। यांत्रिकी में इस समारोह कॉल गति के कानून लेने के लिए। गति, विशेष रूप से असमान, की मुख्य विशेषता यह है तात्कालिक वेग। जब बिंदु यांत्रिकी के कानून के अनुसार y- अक्ष ले जाया जाता है, यादृच्छिक समय बिंदु यह समन्वय एक्स f (x) का अधिग्रहण किया। समय बिंदु x + Δh, जहां Δh समय की वेतन वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है में, यह च (x + Δh) kordinaty होगा। इस प्रकार का गठन सूत्र Δy = च (x + Δh) - f (x) है, जो एक वेतन वृद्धि समारोह कहा जाता है। यह पथ x + Δh को एक्स से समय के दौरान चल का एक बिंदु है।

समय व्युत्पन्न पर वेग की घटना के संबंध में किया जाता है। एक निश्चित बिंदु पर किसी भी समारोह के व्युत्पन्न सीमा कहा (यह मानते हुए वह मौजूद है)। यह कुछ वर्णों के लिए भेजा जा सकता है:

f '(x), वाई', Y, df / dx, वि / dx, लोमो (एक्स)।

कॉल भेदभाव के व्युत्पन्न की गणना करने की प्रक्रिया।

कई चर के कार्यों का अंतर पथरी

जब समारोह अध्ययन, कई चर की गणना इस पद्धति लागू किया जाता है। देखते हैं जब दो चर x और y, बिंदु A पर एक्स के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न एक निश्चित y के साथ एक्स में इस समारोह के व्युत्पन्न कहा जाता है।

निम्नलिखित प्रतीक ने संकेत दिया जा सकता है:

f '(x) (x, y), यू' (x), ∂u / ∂x और ∂f (एक्स, वाई) '/ ∂x।

आवश्यक कौशल

सफलतापूर्वक जानने के लिए और एकीकरण और भेदभाव में diffury आवश्यक कौशल हल करने में सक्षम होने के लिए। यह आसान अंतर समीकरण को समझने के लिए बनाने के लिए, विषय व्युत्पन्न और समझा जाना चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्न। इसके अलावा निहित समारोह के व्युत्पन्न देखने के लिए सीखने के लिए चोट नहीं करता है। यह तथ्य यह है कि सीखने की प्रक्रिया में अक्सर अभिन्न और भेदभाव का उपयोग करेगा के कारण है।

अंतर समीकरण के प्रकार

लगभग सभी नियंत्रण का काम के साथ जुड़े पहले के विभेदक समीकरण, सजातीय, वियोज्य चर के साथ, रैखिक inhomogeneous: वहाँ समीकरणों के 3 प्रकार के होते हैं।

वहाँ भी कुल भिन्नता, Bernoulli के समीकरण, और दूसरों के साथ और अधिक दुर्लभ प्रजाति समीकरण हैं।

बुनियादी बातों समाधान

शुरू करने के लिए, हमें याद रखना चाहिए एक स्कूल पाठ्यक्रम के बीजीय समीकरण है। वे चर और संख्या हो। पारंपरिक समीकरण संख्या कि एक निर्दिष्ट शर्त पूरी नहीं की बहुत खोजने चाहिए हल करने के लिए। आमतौर पर, इन समीकरणों एक जड़ है, और सत्यापन के लिए केवल अज्ञात जगह में इस मान से प्रतिस्थापित करना चाहिए।

अंतर समीकरण इस के समान है। सामान्य तौर पर, पहले के आदेश के एक समीकरण शामिल हैं:

  • स्वतंत्र चर।
  • पहले समारोह की एक व्युत्पन्न।
  • समारोह या आश्रित चर।

कुछ मामलों में, कोई एक अज्ञात, एक्स या वाई हो सकता है, लेकिन यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह समाधान और अंतर पथरी के लिए कोई उच्च आदेश डेरिवेटिव के साथ, पहले व्युत्पन्न होना आवश्यक है सही थे नहीं है।

अंतर समीकरण का समाधान - यह सभी कार्यों कि उपयुक्त दिए गए अभिव्यक्ति का सेट लगाने के लिए इसका मतलब है। कार्यों के इस तरह के सेट अक्सर सामान्य समाधान नियंत्रण कहा जाता है।

अभिन्न कलन

अभिन्न कलन गणितीय विश्लेषण, जो अभिन्न, गुण और इसकी गणना के तरीकों की अवधारणा की जांच करता है के वर्गों में से एक है।

अक्सर अभिन्न की गणना होती है जब एक वक्रीय आकार के क्षेत्रफल की गणना। इस एक सीमा क्षेत्र है, जो की ओर उसके हाथ में एक क्रमिक वृद्धि, और डेटा पक्ष के साथ खुदा बहुभुज आकार के एक पूर्व निर्धारित क्षेत्र किसी भी पहले से निर्दिष्ट मनमाने ढंग से छोटे मूल्य से कम किया जा सकता है इसका मतलब है के द्वारा।

किसी भी ज्यामितीय आकार के क्षेत्र की गणना में मुख्य विचार एक आयत के क्षेत्रफल की गणना है, तो इस बात के प्रमाण है कि अपने क्षेत्र चौड़ाई से लंबाई के उत्पाद के बराबर है। यह ज्यामिति की बात आती है, तो सभी निर्माण एक शासक और कम्पास का उपयोग किया जाता है, और फिर चौड़ाई को लंबाई के अनुपात एक तर्कसंगत मूल्य है। एक समकोण त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करते समय निर्धारित किया जा सकता है कि अगर आप एक अगले त्रिकोण शब्दों में कहें, एक आयत ही बना है। समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल में, एक समान है, लेकिन थोड़ा और अधिक जटिल विधि में गणना कर रहे हैं एक आयत और एक त्रिकोण के भीतर। एक बहुभुज के क्षेत्र में यह में शामिल त्रिकोण द्वारा माना जाता है।

मनमाने ढंग से की दया का निर्धारण करने में, इस विधि वक्र फिट नहीं करता है। यदि हम यह व्यक्तिगत वर्गों में तोड़ने, यह रिक्त स्थानों रहेगा। इस मामले में, ऊपर और नीचे आयतों के साथ दो कोट उपयोग करने के लिए, उन लोगों में से एक परिणाम के रूप और समारोह का ग्राफ शामिल शामिल नहीं है की कोशिश करो। यहां महत्वपूर्ण एक तरह से इन आयतों को तोड़ने के लिए है। इसके अलावा, अगर हम तोड़ने में अधिक से अधिक कम हो ले, ऊपर और नीचे के क्षेत्र में एक निश्चित मूल्य पर जमा होते है चाहिए।

यह आयत में अलग करने के लिए एक विधि के लिए वापस आ जाना चाहिए। वहाँ दो लोकप्रिय तरीके हैं।

Riemann अभिन्न, लाइबनिट्स और न्यूटन द्वारा बनाई गई की परिभाषा औपचारिक रूप दिया गया, subgraph के क्षेत्र के रूप में। इस मामले में, हम अंतराल विभाजित कर प्राप्त किया खड़ी आयतों की एक निश्चित संख्या से मिलकर एक आंकड़ा माना जाता है। जब एक कमी को तोड़ने वहाँ एक सीमा होती है, जो करने के लिए इस तरह के एक आंकड़ा के कम क्षेत्र, इस सीमा को एक निर्दिष्ट अंतराल पर एक समारोह के Riemann अभिन्न कहा जाता है।

एक दूसरी विधि Lebesgue अभिन्न निर्माण करने के लिए, इस तथ्य जुदाई के स्थान पर integrand के एक भाग पर नामित उस क्षेत्र और उसके बाद इन भागों में प्राप्त मूल्यों के अभिन्न राशि संकलन, अंतराल मूल्यों की अपनी सीमा विभाजित में, और उसके बाद इसी उपायों इन अभिन्न का प्रतिलोम छवियों के साथ अभिव्यक्त किया में मिलकर है।

आधुनिक एड्स

अवकलन और समाकलन कलन Fikhtengol'ts के अध्ययन के लिए मुख्य लाभों में से एक ने लिखा है - "अवकलन और समाकलन कलन की।" उनके पाठ्यपुस्तक गणितीय विश्लेषण का अध्ययन है, जो अन्य भाषाओं में कई संस्करणों और अनुवाद सामना के लिए एक बुनियादी उपकरण है। छात्रों के लिए और अध्ययन का मुख्य लाभ में से एक के रूप में शिक्षण संस्थानों की एक किस्म में इस्तेमाल किया एक लंबे समय के लिए बनाया गया। यह सैद्धांतिक जानकारी और व्यावहारिक कौशल देता है। सबसे पहले 1948 में प्रकाशित किया।

एल्गोरिथ्म अनुसंधान समारोह

अंतर कलन समारोह के तरीकों का पता लगाने के लिए, आप का पालन करने के पहले से ही दिया जाता है एल्गोरिथ्म की जरूरत है:

  1. समारोह के डोमेन का पता लगाएं।
  2. दिए गए समीकरण के मूल का पता लगाएं।
  3. चरम सीमाओं की गणना। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न और जहां यह शून्य के बराबर है की गणना।
  4. हम समीकरण में प्राप्त मूल्य स्थानापन्न।

अंतर समीकरण की किस्मों

पहले के आदेश (अन्यथा, एक चर के अंतर पथरी) और उनके प्रकार के नियंत्रण:

  • च (y) डीवाई = g (x) dx: वियोज्य चर समीकरण के साथ।
  • एक चर का सबसे सरल समीकरण या अंतर कलन समारोह, सूत्र होने: वाई '= f (x)।
  • रैखिक प्रथम क्रम असमान नियंत्रण: वाई '+ P (x) y = क्यू (एक्स)।
  • Bernoulli अंतर समीकरण: वाई '+ P (x) y = क्यू (एक्स) y एक।
  • के साथ कुल भिन्नता समीकरण: पी (एक्स, वाई) dx + Q (एक्स, वाई) 0 डीवाई =।

दूसरा आदेश और उनके प्रकारों का अंतर समीकरण:

  • लगातार गुणांक के साथ सजातीय रैखिक दूसरा आदेश अंतर समीकरण: वाई n + py '+ QY = 0 p, q अंतर्गत आता है आर
  • लगातार गुणांक मूल्य के साथ inhomogeneous रैखिक दूसरा आदेश अंतर समीकरण: वाई n + py '+ QY = f (x)।
  • सजातीय रैखिक अंतर समीकरण: वाई n + p (x) वाई '+ क्ष (एक्स) y = 0, और inhomogeneous दूसरा आदेश समीकरण: वाई n + p (x) वाई' + क्ष (एक्स) y = f (x)।

उच्च आदेश और उनकी प्रकार के अंतर समीकरण:

  • अंतर समीकरण, आदेश की कमी की इजाजत दी: एफ (एक्स, वाई (कश्मीर ), वाई (k + 1), .., वाई (एन) = 0।
  • y (एन) + F (: के उच्च आदेश सजातीय एक रेखीय समीकरण n- 1) y (n-1) + ... + च 1 y '+ एफ 0 y = 0, और inhomogeneous: y (एन) + F ( n -1) y (n-1) + ... + च 1 y '+ एफ 0 y = f (x)।

अंतर समीकरण के साथ समस्या को हल करने के चरण

रिमोट कंट्रोल की मदद से न केवल गणित या शारीरिक समस्याओं, लेकिन यह भी जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र और दूसरों के विभिन्न समस्याओं को हल किया हैं। विषयों की व्यापक विविधता के बावजूद, इन समस्याओं को हल करने के लिए एक एकल तर्क अनुक्रम का पालन करना चाहिए:

  1. नियंत्रण ड्राइंग। सबसे कठिन चरणों, जो अधिकतम सटीकता की आवश्यकता है, क्योंकि किसी भी गलती पूरी तरह से गलत परिणाम प्राप्त होंगे में से एक। यह खाते में सभी प्रक्रिया प्रभावित करने वाले कारकों लेने के लिए और प्रारंभिक स्थितियों का निर्धारण करने के लिए आवश्यक है। यह भी तथ्य और तार्किक निष्कर्ष पर आधारित होना चाहिए।
  2. समीकरणों को हल करने के लिए। यह प्रक्रिया पहले बात करने के लिए आसान है, क्योंकि यह गणितीय गणना का केवल सख्त कार्यान्वयन की आवश्यकता है।
  3. विश्लेषण और परिणामों का मूल्यांकन। व्युत्पन्न समाधान परिणाम के व्यावहारिक और सैद्धांतिक मूल्य की स्थापना के लिए मूल्यांकन किया जाना चाहिए।

अंतर के उपयोग का एक उदाहरण चिकित्सा के क्षेत्र में समीकरण

चिकित्सा के क्षेत्र में रिमोट कंट्रोल का प्रयोग महामारी विज्ञान के गणितीय मॉडल के निर्माण में पाया जाता है। हम नहीं भूल जाना चाहिए कि इन समीकरणों भी जीव विज्ञान और रसायन शास्त्र, जो चिकित्सा के करीब हैं में पाए जाते हैं, क्योंकि यह एक महत्वपूर्ण भूमिका अलग अलग जैविक आबादी और मानव शरीर में रासायनिक प्रक्रियाओं का अध्ययन निभाता है।

इस उदाहरण में, संक्रमण की महामारी फैल एक अलग समुदाय में इलाज किया जा सकता। निवासियों तीन प्रकार में विभाजित हैं:

  • संक्रमित, एक्स की संख्या (टी) है, जो व्यक्तियों, संक्रामक वाहक शामिल थे, जिनमें से प्रत्येक संक्रामक है (ऊष्मायन अवधि कम है)।
  • दूसरे प्रकार के अतिसंवेदनशील व्यक्तियों y (टी), संक्रमित के साथ संपर्क से संक्रमित हो सकता है शामिल हैं।
  • तीसरे प्रकार के दु: साध्य व्यक्तियों z (टी), जो प्रतिरक्षा या बीमारी के कारण खो रहे हैं शामिल हैं।

व्यक्तियों की संख्या लगातार जन्म रखते हुए, प्राकृतिक होने वाली मौतों और प्रवास नहीं माना जाता। मूल में दो परिकल्पना हो जाएगा।

कुछ समय के बिंदु पर प्रतिशत रोग एक्स (टी) y (टी) (सिद्धांत के आधार पर धारणा है कि रोगियों और उत्तरदायी सदस्यों के चौराहों की संख्या के अनुपात में मामलों की संख्या जो पहली सन्निकटन में एक्स के लिए आनुपातिक है (टी) y (टी)), में के बराबर है इसलिए मामलों की संख्या बढ़ती जा रही है, और एक दर जो सूत्र कुल्हाड़ी (टी) y (टी) करके की जाती है पर अतिसंवेदनशील कम हो जाती है की संख्या (एक> 0)।

गैर प्रतिसाददाताओं कि जानवरों की मृत्यु हो गई या प्रतिरक्षा हासिल कर ली, एक दर जो मामलों की संख्या, bx (टी) (b> 0) के लिए आनुपातिक है पर वृद्धि हुई है की संख्या।

नतीजतन, आप सभी तीन इसके निष्कर्षों के आधार पर संकेतक के साथ समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित कर सकते हैं।

उदाहरण का उपयोग अर्थशास्त्र

अंतर पथरी अक्सर आर्थिक विश्लेषण में प्रयोग किया जाता है। आर्थिक विश्लेषण में मुख्य कार्य है जो समारोह के रूप में दर्ज किया जाता है अर्थव्यवस्था के मूल्यों, के अध्ययन माना जाता है। यह इस तरह के आयकर बढ़ जाती है में परिवर्तन के तुरंत बाद, प्रवेश शुल्क, राजस्व में परिवर्तन जब उत्पाद के मूल्य बदल रहा है, क्या में अनुपात नए उपकरणों के साथ सेवानिवृत्त कर्मचारियों द्वारा बदला जा सकता है के रूप में समस्याओं को सुलझाने में प्रयोग किया जाता है। इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए, यह आने वाले चर, जो, के बाद अंतर कलन द्वारा अध्ययन किया जा रहा का एक संचार समारोह का निर्माण करने की आवश्यकता है।

अधिकतम उत्पादकता, उच्चतम आय, कम से कम लागत और इतने पर: यह अक्सर आर्थिक क्षेत्र में सबसे अनुकूलतम प्रदर्शन को खोजने के लिए आवश्यक है। इस तरह के प्रत्येक घटक एक या अधिक तर्क के एक समारोह है। उदाहरण के लिए, उत्पादन श्रम और पूंजी के एक समारोह के रूप में माना जा सकता है। इस संबंध में एक उपयुक्त मूल्य खोजने अधिकतम या एक या अधिक चरों के एक समारोह के न्यूनतम पाने के लिए कम किया जा सकता।

इस तरह की समस्याएं हैं जिनके लिए आप अंतर पथरी की जरूरत है आर्थिक क्षेत्र में extremal समस्याओं, के एक वर्ग पैदा करते हैं। जब आर्थिक संकेतक को कम करने या अन्य मापदंडों के एक समारोह के रूप में अधिकतम करने के लिए आवश्यक है, वेतन वृद्धि अनुपात तर्कों को अधिकतम बिंदु समारोह शून्य करने के लिए करते हैं, तो तर्क की वेतन वृद्धि शून्य हो जाता है। अन्यथा, जब इस तरह के एक दृष्टिकोण एक निश्चित सकारात्मक या नकारात्मक मूल्य जाता है, निर्दिष्ट बिंदु नहीं उपयुक्त, बढ़ाने या तर्क कम से वांछित दिशा में निर्भर मूल्य बदला जा सकता है क्योंकि है। अंतर कलन शब्दावली में, इसका मतलब यह होगा अधिकतम कार्य के लिए आवश्यक शर्तों इसकी व्युत्पन्न का एक शून्य मान है।

अर्थव्यवस्था क्योंकि आर्थिक संकेतकों कई कारकों के बने होते हैं, कई चर के एक समारोह के खोजने extremum की असामान्य समस्या नहीं है। इस तरह के मुद्दों को अच्छी तरह कई चर, अंतर की गणना की विधि के कार्यों के सिद्धांत में समझ रहे हैं। इस तरह की समस्याएं केवल सीमाओं को बड़ा शामिल नहीं है और कम से कम समारोह, लेकिन यह भी। ये सवाल गणितीय प्रोग्रामिंग से संबंधित हैं, और वे विशेष रूप से विकसित किया तरीकों की मदद भी विज्ञान की इस शाखा पर आधारित होते हैं के साथ हल कर रहे हैं।

अर्थव्यवस्था में इस्तेमाल अंतर कैलकुलस की विधि के अलावा, एक महत्वपूर्ण खंड अंतिम परीक्षण है। आर्थिक क्षेत्र में, अवधि चर प्रदर्शन के अनुसंधान के तरीकों का एक सेट को संदर्भित करता है और परिणाम है जब आप अपनी सीमा मूल्यों के विश्लेषण के आधार पर, निर्माण, उपभोग की मात्रा बदल जाते हैं। संकेत माना व्युत्पन्न या कई चर के साथ आंशिक डेरिवेटिव सीमित।

कई चर का अंतर पथरी - गणितीय विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण विषय। एक विस्तृत अध्ययन के लिए, आप उच्च शिक्षा संस्थानों के लिए शिक्षण सहायक सामग्री की एक किस्म का उपयोग कर सकते हैं। "अवकलन और समाकलन कलन की।" - सबसे प्रसिद्ध बनाया Fikhtengol'ts में से एक कैसे नाम के बहुत काफी महत्वपूर्ण स्थान अंतर समीकरण के समाधान के लिए अभिन्न साथ काम करने के कौशल है। जब एक चर के कार्यों में से एक अंतर पथरी है, निर्णय आसान हो जाता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, यह एक ही मूल नियमों का पालन करती। व्यवहार में, अंतर पथरी के समारोह की जांच के लिए, बस पहले से ही विद्यमान एल्गोरिथ्म, जो उच्च विद्यालय में दी गई है, और नए वेरिएबल के प्रवर्तन केवल थोड़ा जटिल का पालन करें।

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