रैखिक और समरूप प्रथम क्रम अंतर समीकरण। नमूना समाधान

मुझे लगता है कि हमें इस तरह के एक शानदार गणितीय उपकरण के इतिहास से अंतर समीकरण के रूप में शुरू करना चाहिए। सभी अंतर और अभिन्न गणना की तरह, इन समीकरणों का आविष्कार 17 वीं शताब्दी के अंत में न्यूटन ने किया था। उन्होंने इस खोज को इतनी महत्वपूर्ण माना कि उन्होंने संदेश को भी एन्क्रिप्ट किया, जिसे आज का अनुवाद किया जा सकता है: "प्रकृति के सभी नियमों को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।" यह एक अतिशयोक्ति की तरह लग सकता है, लेकिन यह सच है। इन समीकरणों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान का कोई भी कानून वर्णन किया जा सकता है।

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत के विकास और निर्माण में एक बड़ा योगदान गणितज्ञ यूलर और लैग्रेज द्वारा किया गया था। पहले से ही 18 वीं सदी में, उन्होंने शोध और विकसित की जो अब वरिष्ठ विश्वविद्यालय पाठ्यक्रमों में पढ़ाई जा रही है।

हेनरी पॉयेंयर के साथ अंतर समीकरणों के अध्ययन में एक नया मील का पत्थर शुरू हुआ। उन्होंने "अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत" बनाया, जो एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के साथ संयोजन में टोपोलॉजी की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया - अंतरिक्ष और इसके गुणों का विज्ञान

अंतर समीकरण क्या हैं?

बहुत से लोग एक वाक्यांश "अंतर समीकरण" से डरते हैं । हालांकि, इस लेख में, हम इस बहुत ही उपयोगी गणितीय उपकरण का संपूर्ण सार विस्तार करेंगे, जो वास्तव में जटिल नहीं है क्योंकि यह शीर्षक से लगता है। प्रथम आदेश के अंतर समीकरणों को बताते हुए, आपको सबसे पहले बुनियादी अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए जो अंतर्निहित इस परिभाषा से जुड़े हैं। और हम अंतर के साथ शुरू करेंगे

अंतर

बहुत से लोग इस अवधारणा को स्कूल से जानते हैं। हालांकि, हम इस पर अधिक विस्तार से ध्यान केन्द्रित करेंगे। फ़ंक्शन ग्राफ़ की कल्पना करें। हम इसे इस हद तक बढ़ा सकते हैं कि इसके किसी भी हिस्से को एक सीधी रेखा के रूप में ले जाएगा। उस पर हम दो बिंदुएं लेते हैं जो एक दूसरे के असीम रूप से करीब हैं उनके निर्देशांक (एक्स या वाई) में अंतर एक अन्तराल है इसे अंतर कहा जाता है और संकेतों (y के अंतर) और डीएक्स (एक्स के अंतर) से चिह्नित है। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि अंतर एक सीमित मात्रा नहीं है, और यह इसका अर्थ और बुनियादी कार्य है

और अब हमें निम्नलिखित तत्वों पर विचार करने की आवश्यकता है, जिसे हमें एक विभेदक समीकरण की अवधारणा को समझाते हैं। यह व्युत्पन्न है

व्युत्पन्न

हम सब शायद स्कूल में सुना और इस अवधारणा ऐसा कहा जाता है कि व्युत्पन्न कार्य की वृद्धि या कमी की दर है। हालांकि, इस परिभाषा के बहुत समझ से बाहर हो जाता है। चलो विभेदों के माध्यम से व्युत्पन्नता की व्याख्या करने का प्रयास करें। आइए दो बिंदुओं के साथ एक अनगिनत टुकड़ा फ़ंक्शन पर लौटें, जो एक दूसरे से न्यूनतम दूरी पर हैं लेकिन इस दूरी के लिए भी फ़ंक्शन में कुछ हद तक बदलाव करने का समय है। और इस परिवर्तन का वर्णन करने के लिए और एक व्युत्पन्न के साथ आओ, जो अन्यथा अंतर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: f (x) '= df / dx

अब हमें व्युत्पन्न के मूल गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है। उनमें से केवल तीन हैं:

1. राशि या अंतर का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग या अंतर के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: (a + b) '= a' + b 'और (ab)' = a'-b '
2. दूसरी संपत्ति गुणन से संबंधित है उत्पाद व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न पर एक समारोह के उत्पादों का योग है: (a * b) '= a' * b + a * b '
3. अंतर का व्युत्पन्न निम्नलिखित समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है: (ए / बी) '= (एक' * बीए * बी ') / बी ²

ये सभी गुण प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के समाधान खोजने के लिए उपयोगी होते हैं।

आंशिक डेरिवेटिव भी हैं मान लीजिए कि हमारे पास फ़ंक्शन Z है जो कि एक्सरेंज वाई और वाई पर निर्भर करता है। इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, कहते हैं, x के संबंध में, हमें चर y को निरंतर और बस अंतर के रूप में लेना होगा।

अविभाज्य

एक अन्य महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न है वास्तव में, यह व्युत्पन्न के प्रत्यक्ष विपरीत है। एकीकृत कई प्रकार के होते हैं, लेकिन सबसे सरल अंतर समीकरण को सुलझाने के लिए हमें सबसे तुच्छ अनिश्चित अनंत काल की आवश्यकता होती है ।

तो, एक अभिन्न क्या है? मान लीजिए कि हमें एक्स पर एफ की एक निश्चित निर्भरता है हम इसे अभिन्न से लेते हैं और फ़ंक्शन एफ (एक्स) प्राप्त करते हैं (अक्सर एंटीमीवाइवेट कहा जाता है), जो व्युत्पन्न मूल समारोह के बराबर होता है। इस प्रकार, एफ (एक्स) '= एफ (एक्स)। यह भी निम्नानुसार है कि व्युत्पन्न का अभिन्न मूल समारोह के बराबर है।

अंतर समीकरण को हल करते समय, अभिन्न के अर्थ और कार्य को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि समाधान खोजने के लिए उन्हें लेने के लिए अक्सर यह आवश्यक होता है।

उनके स्वभाव के आधार पर समीकरण भिन्न होते हैं। अगले खंड में, हम प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे, और उसके बाद उन्हें हल करने का तरीका जानेंगे।

अंतर समीकरणों की कक्षाएं

"विसारक" उन में भाग लेने वाले डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार विभाजित हैं। इस प्रकार एक पहला, दूसरा, तीसरा या अधिक ऑर्डर है उन्हें कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: साधारण और आंशिक डेरिवेटिव

इस पत्र में हम प्रथम श्रेणी के साधारण अंतर समीकरणों पर विचार करते हैं। उदाहरणों और उन्हें सुलझाने के लिए तरीकों पर भी निम्नलिखित अनुभागों में चर्चा की जाएगी। हम केवल ओडीई पर विचार करेंगे क्योंकि ये सबसे सामान्य प्रकार के समीकरण हैं। सामान्य उप-प्रजातियों में विभाजित किए गए हैं: अलग-अलग चर, सजातीय और विषम। इसके बाद, आप सीखेंगे कि वे एक-दूसरे से कैसे भिन्न होते हैं, और उन्हें कैसे हल करें सीखें।

इसके अलावा, इन समीकरणों को जोड़ा जा सकता है ताकि हम पहली-आदेश अंतर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त कर सकें। हम इस तरह की व्यवस्थाओं पर विचार करेंगे और उन्हें हल करने का तरीका जानेंगे।

हम केवल पहले आदेश पर विचार क्यों करते हैं? क्योंकि आपको एक साधारण से शुरू करना होगा, और एक लेख में अंतर समीकरणों से संबंधित सभी चीजों का वर्णन करना असंभव है

विभक्त चर के साथ समीकरण

ये, शायद, सबसे सरल पहले क्रम अंतर समीकरण हैं। इसमें ऐसे उदाहरण शामिल हैं जिन्हें इन्हें लिखा जा सकता है: y '= f (x) * f (y)। इस समीकरण को हल करने के लिए हमें व्युत्पन्न को विभेदों के अनुपात के रूप में प्रतिनिधित्व करने के लिए सूत्र की आवश्यकता है: y '= dy / dx इसके साथ हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं: डीआई / डीएक्स = एफ (एक्स) * एफ (वाई) अब हम मानक उदाहरणों को सुलझाने की पद्धति को बदल सकते हैं: हम भागों के आधार पर चर को विभाजित करते हैं, अर्थात, हम चर y से उस स्थान तक सबकुछ स्थानांतरित करते हैं जहां डीई स्थित है, और हम यह भी वेरिएबल x के साथ करते हैं। हम फार्म के एक समीकरण डी / एफ (वाई) = एफ (एक्स) डीएक्स प्राप्त करते हैं, जो दोनों पक्षों से एकीकृत होकर हल किया जाता है। निरंतर के बारे में मत भूलो, जो अभिन्न के बाद सेट होना चाहिए।

किसी भी "विसारक" का समाधान y पर निर्भर करता है y (हमारे मामले में) या, यदि संख्यात्मक स्थिति है, तो उत्तर संख्या के रूप में होता है चलो एक ठोस उदाहरण के समाधान के पूरे पाठ्यक्रम का विश्लेषण:

वाई '= 2y * पाप (एक्स)

हम विभिन्न दिशाओं में चर को हस्तांतरित करते हैं:

उप / वाई = 2 * पाप (x) डीएक्स

अब हम एकीकरण को लेते हैं। उन सभी को एक विशिष्ट तालिका की विशेष तालिका में पाया जा सकता है और हम प्राप्त करते हैं:

एलएन (वाई) = -2 * cos (x) + C

यदि आवश्यक हो, तो हम "igruk" को "एक्स" के एक समारोह के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब हम यह कह सकते हैं कि यदि अंतर निर्दिष्ट नहीं है, तो हमारे विभेदक समीकरण का समाधान किया जाता है। एक शर्त दी जा सकती है, उदाहरण के लिए, y (n / 2) = e। तो हम बस इन वैरिएबल के वैल्यू को हल में बदलते हैं और स्थिरांक का मान पाते हैं। हमारे उदाहरण में, यह 1 है

समरूप प्रथम-क्रम अंतर समीकरण

अब अधिक जटिल भाग पर जाएं। समरूप प्रथम-क्रम अंतर समीकरण सामान्य रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है: y '= z (x, y)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो चर का सही कार्य एकरूप है, और इसे दो निर्भरता में विभाजित नहीं किया जा सकता: y से x और z से z यह जांचने के लिए कि समीकरण समरूप है या नहीं, यह बहुत सरल है: हम प्रतिस्थापन x = k * x और y = k * y बनाते हैं। अब हम सभी कश्मीर कटौती यदि ये सभी पत्र कम हो जाते हैं, तो समीकरण समरूप है और आप सुरक्षित रूप से इसके समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं आगे चल रहा है, हम कहते हैं: इन उदाहरणों को हल करने का सिद्धांत भी बहुत सरल है।

हमें प्रतिस्थापन बनाने की जरूरत है: y = t (x) * x, जहां टी एक फ़ंक्शन है जो एक्स पर निर्भर करता है फिर हम व्युत्पन्न व्यक्त कर सकते हैं: y '= t' (x) * x + t यह सब हमारे मूल समीकरण में स्थानांतरित करने और सरल बनाने के लिए, हमें अलग-अलग चर टी और एक्स के साथ एक उदाहरण मिलते हैं। हम इसे हल करते हैं और निर्भरता टी (एक्स) प्राप्त करते हैं। जब हमें मिल गया, तो बस हमारे पिछले प्रतिस्थापन में y = t (x) * x का विकल्प फिर हमें एक्स की निर्भरता x पर मिलती है।

इसे और अधिक स्पष्ट बनाने के लिए, हम एक उदाहरण लें: x * y '= yx * e ^{y / x}

प्रतिस्थापन के साथ जांच पर सब कम है। इसलिए, समीकरण वास्तव में सजातीय है अब हम एक अन्य प्रतिस्थापन बनाते हैं, जिसके बारे में हमने बात की थी: y = t (x) * x और y '=' (x) * x + t (x)। सरलीकरण के बाद, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं: टी '(एक्स) * x = -e ^t हम परिणामस्वरूप उदाहरणों को अलग-अलग चर के साथ हल करते हैं और प्राप्त करते हैं: ई ^-टी = एलएन (सी * एक्स)। यह केवल हमारे लिए टी / वाई (जैसे y = t * x, फिर टी = y / x) के द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए रहता है, और हमें इसका उत्तर मिलता है: ई-वाई ^{/ एक्स} = एलएन (x * C)।

रैखिक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण

यह एक और व्यापक विषय पर विचार करने का समय है हम पहले-आदेश में समवर्ती अंतर समीकरण का विश्लेषण करेंगे। वे पिछले दो से कैसे भिन्न होते हैं? आइए इसे समझें प्रथम क्रम के रैखिक अंतर समीकरणों को सामान्य रूप में निम्नलिखित समीकरण से लिखा जा सकता है: y '+ g (x) * y = z (x)। यह स्पष्ट करने के लिए उपयुक्त है कि z (x) और g (x) निरंतर मात्रा में हो सकते हैं।

और अब एक उदाहरण: y '- y * x = x ²

हल करने के दो तरीके हैं, और हम दोनों के साथ सौदा करेंगे। पहला, मनमानी स्थिरांकों की विविधता का तरीका है।

इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, शून्य से दाहिनी ओर समीकरण करना और परिणामी समीकरण को हल करने के लिए सबसे पहले आवश्यक है, जो भागों के हस्तांतरण के बाद प्रपत्र लेते हैं:

वाई '= वाई * x;

उप / डीएक्स = वाई * x;

उप / वाई = xdx;

एलएन | वाई | = एक्स 2/2 + सी;

वाई = ई ^{x2 / 2} * ^सी = सी ₁ * ई ^{x2 / 2}

अब हमें फ़ंक्शन v (x) से लगातार सी ₁ को बदलने की आवश्यकता है, जिसे हमें ढूंढना होगा

वाई = वी * ई ^{x2 / 2}

हम व्युत्पन्न की जगह लेते हैं:

वाई '= वी' * ई ^{x2 / 2-} x * v * ई ^{x2 / 2}

और इन भावों को मूल समीकरण में बदलें:

वी '* ई ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ²

यह देखा जा सकता है कि बाईं ओर दो शब्दों को रद्द करें। अगर कुछ उदाहरण में ऐसा नहीं हुआ, तो आपने कुछ गलत किया चलो जारी रखें:

वी '* ई ^{x2 / 2} = x2

अब हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं, जिसमें हमें चर को अलग करना होगा:

डीवी / डीएक्स = एक्स ² / ई ^{एक्स 2/2} ;

डीवी = x2 * ई ^{- x2 / 2} डीएक्स

अभिन्न निकालने के लिए, हमें भागों द्वारा एकीकरण लागू करना होगा। हालांकि, यह हमारे लेख का विषय नहीं है यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप सीख सकते हैं कि यह स्वयं कैसे करें यह मुश्किल नहीं है, और पर्याप्त कौशल और ध्यान के साथ ज्यादा समय नहीं लेता है।

हम अस्थायी समीकरणों को सुलझाने के लिए दूसरी विधि को बदलते हैं: बर्नोली विधि कौन सा दृष्टिकोण तेज और आसान है - यह आप पर निर्भर है

इसलिए, जब इस विधि से समीकरण को सुलझाना है, तो हमें प्रतिस्थापन बनाने की आवश्यकता है: y = k * n यहां पर कश्मीर और एन एक्स के आधार पर कुछ फ़ंक्शन हैं तब व्युत्पन्न इस प्रकार दिखाई देगी: y '= k' * n + k * n '। हम समीकरण में दोनों प्रतिस्थापनों को स्थानांतरित करते हैं:

K '* n + k * n' + x * k * n = x ²

समूह:

K '* n + k * (n' + x * n) = x ²

अब हमें कोष्ठक में शून्य को समीकरण की आवश्यकता है। अब, यदि हम दो परिणामस्वरूप समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हम पहले क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसे हल किया जाना चाहिए:

एन '+ x * एन = 0;

के '* * n = x ²

पहला समीकरण एक साधारण समीकरण के रूप में हल किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको चर को अलग करना होगा:

डीएन / डीएक्स = एक्स * वी;

डीएन / एन = एक्सडीएक्स

हम अभिन्न और प्राप्त करते हैं: ln (n) = x 2/2 फिर, यदि हम n व्यक्त करते हैं:

एन = ई ^{x2 / 2}

अब हम परिणामस्वरूप समानता को प्रणाली के दूसरे समीकरण में स्थानांतरित करते हैं:

K '* e ^{x2 / 2} = x2

और बदलने, हमें पहली विधि के समान समानता मिलती है:

डीके = एक्स ² / ई ^{एक्स 2/2}

हम आगे की क्रियाओं को भी अलग नहीं करेंगे। यह कहने योग्य है कि पहली बार पहले क्रम अंतर समीकरण का समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों का कारण बनता है। हालांकि, विषय में गहरा विसर्जन के साथ, यह बेहतर और बेहतर पाने के लिए शुरू होता है

कहाँ अंतर समीकरणों का इस्तेमाल किया जाता है?

बहुत सक्रिय अंतर समीकरण का उपयोग भौतिकी में किया जाता है, क्योंकि लगभग सभी बुनियादी कानून विभेदक रूप में लिखे जाते हैं, और जो सूत्र हम देखते हैं वे इन समीकरणों का समाधान हैं। रसायन शास्त्र में, इसका उपयोग उसी कारण से किया जाता है: बुनियादी कानून उनकी मदद से प्राप्त होते हैं। जीव विज्ञान में, अंतर समीकरण का उपयोग प्रणाली के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए शिकारी-शिकार उनका उपयोग प्रजनन के मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है, कहते हैं, सूक्ष्मजीवों की एक कॉलोनी।

अंतर समीकरण जीवन में कैसे मदद करेंगे?

इस सवाल का उत्तर सरल है: कोई रास्ता नहीं यदि आप एक वैज्ञानिक या इंजीनियर नहीं हैं, तो आप के लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। हालांकि, एक सामान्य विकास के लिए, यह जानने के लिए अनुचित नहीं है कि एक विभेदक समीकरण क्या है और यह कैसे हल किया जाता है। और फिर बेटे या बेटी का प्रश्न "अंतर समीकरण क्या है?" आपको कल्ले-डी-सैक में न डालें ठीक है, यदि आप वैज्ञानिक या इंजीनियर हैं, तो आप स्वयं किसी भी विज्ञान में इस विषय के महत्व को समझते हैं। लेकिन मुख्य बात यह है कि अब सवाल "प्रथम क्रम के अंतर समीकरण को कैसे हल करें?" आप हमेशा एक जवाब दे सकते हैं सहमत हूँ, यह हमेशा सुखद होता है जब आप समझते हैं कि लोग समझने में भी डरते हैं।

अध्ययन में मुख्य समस्याएं

इस विषय को समझने में मुख्य समस्या एकीकरण और विभेदित कार्यों का खराब कौशल है। यदि आप डेरिवेटिव और इंफ्रालेबल्स को बुरी तरह से नहीं लेते हैं, तो संभवतः, सीखने के लिए, एकीकरण और भेदभाव के विभिन्न तरीकों को मास्टर करने के लिए, और उसके बाद ही लेख में वर्णित सामग्री का अध्ययन करना शुरू करना उचित है।

कुछ लोगों को आश्चर्य होता है जब वे सीखते हैं कि डीएक्स स्थानांतरित किया जा सकता है, क्योंकि पहले (स्कूल में) यह दावा किया गया था कि अंश डीआई / डीएक्स अविभाज्य है। यहां आपको डेरिवेटिव पर साहित्य को पढ़ने की जरूरत है और समझते हैं कि यह समताव्यों को सुलझाने में अनियमित मात्रा का अनुपात है।

बहुत से लोग तुरंत यह महसूस नहीं करते कि हल करने वाले पहले-क्रम अंतर समीकरण अक्सर एक फ़ंक्शन या एक गैर-अभिन्न अभिन्न है, और यह भ्रम उन्हें बहुत परेशानी देता है

बेहतर समझने के लिए आप और क्या अध्ययन कर सकते हैं?

गैर-गणितीय विशेषताओं के छात्रों के गणितीय विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, विशेष पाठ्यपुस्तकों से अंतर कलन की दुनिया में आगे विसर्जन शुरू करना सबसे अच्छा है। तो आप और अधिक विशेष साहित्य जा सकते हैं।

यह उल्लेखनीय है कि, अंतर समीकरणों के अलावा, अभिन्न समीकरण भी हैं, ताकि आप हमेशा के लिए कुछ प्रयास करें और क्या अध्ययन करें।

निष्कर्ष

हमें उम्मीद है कि इस लेख को पढ़ने के बाद, आपको एक विचार है कि अंतर समीकरण क्या हैं और उन्हें कैसे सही तरीके से हल करना है

किसी भी मामले में, जीवन में हमारे लिए उपयोगी किसी भी तरह से गणित। यह तर्क और ध्यान विकसित करता है, जिसके बिना हर व्यक्ति हाथों के बिना है