गठन, विज्ञान
मक्लौरिन और कुछ कार्यों के अपघटन
अध्ययन उन्नत गणित जानते हैं कि हम में से एक नंबर के अभिसरण के अंतराल में एक शक्ति श्रृंखला का योग, समय की एक सतत और असीमित संख्या में एक विभेदित समारोह है होना चाहिए। सवाल उठता है: बहस करने के लिए यह संभव है कि एक मनमाना समारोह च दिया (x) - घात श्रृंखला का योग है? यही कारण है कि स्थिति च माहौल f (x) घात श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता तहत, है? इस मुद्दे के महत्व यह है कि यह बदलने के लिए लगभग £ उलेमाओं f (x) घात श्रृंखला के पहले कुछ पदों का योग है संभव है, कि एक बहुपद है। बहुपद - - इस तरह के एक प्रतिस्थापन समारोह काफी सरल अभिव्यक्ति है सुविधाजनक और कुछ समस्याओं को सुलझाने में है गणितीय विश्लेषण में, अर्थात् अभिन्न सुलझाने जब गणना में अंतर समीकरण , आदि ...
यह साबित हो जाता है, कि कुछ च-ii f (x), (n + 1) मई के आदेश के डेरिवेटिव गणना की जा सकती है जिसमें, के आसपास के क्षेत्र में नवीनतम सहित (α के लिए - आर; एक्स 0 + R) एक बिंदु एक्स = α का उचित सूत्र है:
एक नियम है कि यह संभव बनाता है एक मैकलौरिन श्रृंखला में विस्तार का उत्पादन करने के:
- के प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ... आदेश डेरिवेटिव निर्धारित करें।
- गणना क्या x = 0 पर डेरिवेटिव हैं।
- रिकार्ड मैकलौरिन श्रृंखला इस कार्य के लिए, और फिर अभिसरण के अंतराल निर्धारित करने के लिए।
- (; आर आर), जहां सूत्र मक्लौरिन का अवशिष्ट भाग अंतराल निर्धारित
आर एन (x) -> 0 n के लिए -> अनंत। एक मौजूद है, तो यह समारोह f (x) मैकलौरिन श्रृंखला की राशि के बराबर होना चाहिए।
अब व्यक्तिगत कार्यों के लिए मैकलौरिन श्रृंखला पर विचार करें।
1. इस प्रकार, पहले f जा करने के लिए (x) = ई एक्स। बेशक, यह उनकी विशेषताओं तो च-आईए आदेश की एक किस्म है, और च (के) (x) = ई एक्स, जहां k सभी के लिए बराबर है व्युत्पन्न है प्राकृतिक संख्या। स्थानापन्न x = 0। हम च (के) (0) = ई 0 = 1 k = 1,2 प्राप्त ... पूर्वगामी, के ई एक्स एक संख्या के आधार पर यह इस प्रकार होगी:
तो, हम सबसे महत्वपूर्ण सुविधाओं है कि एक मैकलौरिन श्रृंखला में विस्तार किया जा सकता सूचीबद्ध किया है, लेकिन वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला के पूरक हैं। अब हम उनकी भी सूची जाएगा। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि टेलर श्रृंखला और मैकलौरिन श्रृंखला उच्च गणित के क्षेत्र में निर्णय लेने की कार्यशाला श्रृंखला का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला।
1. पहले की च-ii f (x) = ln (1 + x) एक श्रृंखला है। पिछले उदाहरण, यह हम f (x) = ln (1 + x) एक नंबर तह किया जा सकता, मैकलौरिन श्रृंखला के सामान्य रूप प्रयोग करने के लिए के रूप में। लेकिन इस सुविधा के लिए मैकलौरिन बहुत आसान प्राप्त किया जा सकता। एक ज्यामितीय श्रृंखला का घालमेल है, हम के लिए f (x) एक संख्या प्राप्त = ln (1 + x) नमूने की:
2. और दूसरा, जो इस लेख में अंतिम हो जाएगा, के लिए f (x) = arctg एक्स एक श्रृंखला हो जाएगा। अंतराल से संबंधित एक्स के लिए [-1, 1] वैध अपघटन है:
बस इतना ही। इस अनुच्छेद में मैं उच्च गणित के क्षेत्र में सबसे अधिक इस्तेमाल किया टेलर श्रृंखला और मैकलौरिन श्रृंखला सर्वेक्षण किया है, विशेष रूप से आर्थिक और तकनीकी कॉलेजों में।
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