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भिन्नता - यह क्या है? कैसे समारोह के अंतर को खोजने के लिए?
डेरिवेटिव के साथ साथ उनके कार्यों भिन्नता - यह कुछ बुनियादी अवधारणाओं अंतर कलन, की मुख्य धारा गणितीय विश्लेषण की। inextricably जुड़े हुए हैं, उन दोनों को कई सदियों के लिए व्यापक रूप से लगभग सभी समस्याओं कि वैज्ञानिक और तकनीकी गतिविधि के दौरान पैदा हुई सुलझाने में इस्तेमाल किया।
अंतर की अवधारणा के उद्भव
पहली बार के लिए यह स्पष्ट है कि इस तरह के एक अंतर, संस्थापकों में से एक (Isaakom Nyutonom के साथ) अंतर कलन प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ गोतफ्रिड Vilgelm Leybnits बनाया है। इससे पहले कि 17 वीं सदी के गणितज्ञों। कुछ अत्यल्प किसी भी ज्ञात समारोह के "अविभाजित" की बहुत अस्पष्ट और अस्पष्ट विचार का उपयोग किया, एक बहुत छोटे से निरंतर मूल्य लेकिन शून्य के बराबर नहीं है, जो नीचे दिए गए मान समारोह बस नहीं किया जा सकता का प्रतिनिधित्व। इसलिए यह समारोह तर्क और कार्यों कि बाद के डेरिवेटिव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है की अपने-अपने वेतन वृद्धि की अत्यल्प वेतन वृद्धि के विचार की शुरुआत करने के लिए केवल एक ही कदम था। और इस कदम के लगभग एक साथ ऊपर दो महान वैज्ञानिकों लिया गया था।
तत्काल व्यावहारिक यांत्रिकी समस्याओं है कि विज्ञान का सामना पता करने के लिए की जरूरत के आधार पर तेजी से उद्योग और प्रौद्योगिकी विकास, न्यूटन और लीबनीज, है, जो ऐसी अवधारणाओं की शुरूआत करने के लिए नेतृत्व (विशेष रूप से जाना जाता प्रक्षेपवक्र के शरीर के यांत्रिक गति के संबंध में) परिवर्तन की दर के कार्यों को खोजने का आम तरीके बनाया व्युत्पन्न समारोह और अंतर के रूप में, और यह भी पाया जाना जाता से प्रति (चर) के रूप में एल्गोरिथ्म उलटा समस्या समाधान रास्ता है कि अभिन्न की अवधारणा के लिए प्रेरित किया खोजने के लिए चल स्पीड अला।
लाइबनिट्स और न्यूटन के विचार का काम करता है में पहले ऐसा लगता है कि भिन्नता - मूल तर्कों की वेतन वृद्धि Δh वृद्धि कर देता है Δu कार्यों को सफलतापूर्वक बाद के मूल्य की गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है के लिए आनुपातिक है। , शेष Δh → के रूप में शून्य करने के लिए प्रवृत्त - दूसरे शब्दों में, वे खोज की है एक वेतन वृद्धि समारोह किसी भी बिंदु (परिभाषा के अपने डोमेन के भीतर) पर हो सकता है कि अपनी व्युत्पन्न दोनों Δu = y '(x) Δh + αΔh जहां α Δh के माध्यम से व्यक्त किया जाता है 0, वास्तविक Δh तुलना में बहुत तेज।
गणितीय विश्लेषण के संस्थापकों के अनुसार, भिन्नता - यह वास्तव में किसी भी कार्य की वेतन वृद्धि में पहला शब्द है। यहां तक कि एक स्पष्ट रूप से परिभाषित सीमा अवधारणा दृश्यों सहज समझ रहे हैं कि व्युत्पन्न के अंतर मूल्य ढंग से काम करता है बिना जब Δh → 0 - Δu / Δh → वाई '(x)।
न्यूटन, जो मुख्य रूप से एक भौतिक विज्ञानी और गणितीय उपकरण शारीरिक समस्याओं के अध्ययन के लिए एक सहायक उपकरण के रूप में माना जाता था के विपरीत, लाइबनिट्स इस टूलकिट के लिए और अधिक ध्यान दिया, दृश्य और सुबोध प्रतीकों गणितीय मूल्यों की एक प्रणाली भी शामिल है। यह वह था जो की भिन्नता समारोह डीवाई मानक संकेत प्रस्तावित = y '(x) dx, dx, और उनके रिश्ते y के रूप में तर्क समारोह के व्युत्पन्न' (x) = वि / dx।
आधुनिक परिभाषा
आधुनिक गणित के मामले में अंतर क्या है? यह बारीकी से एक चर वेतन वृद्धि की अवधारणा से संबंधित है। चर y वाई वाई = 1 की पहली मूल्य लेता है, तो y = y 2, अंतर y 2 ─ y 1 वृद्धि मान y कहा जाता है।
मूल्य Δu मनमाना समारोह y = f (x) Δu = एक Δh + α, जहां एक Δh पर कोई निर्भरता, टी है के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। के लिए दिए गए एक्स ई एक = स्थिरांक, और अवधि α जब Δh → 0 जाता है यह भी तेजी से वास्तविक Δh, तो पहले ( "मास्टर") एक अवधि के लिए आनुपातिक Δh से है, और y = f (x) अंतर के लिए है, निरूपित किया डीवाई या df (एक्स) (पढ़ें "डी एक्स से eff" "y डी",)। इसलिए भिन्नता - वेतन वृद्धि Δh कार्यों के घटकों के संबंध में एक "मुख्य" रैखिक।
यांत्रिक स्पष्टीकरण
एक सीधी रेखा में चलती दूरी - एस = च (टी) चलो सामग्री बिंदु (- यात्रा के समय टी) प्रारंभिक स्थिति से। बढ़ते क्रम में Δs - एक समय अंतराल Δt के दौरान जिस तरह से बिंदु है, और अंतर डी एस = च '(टी) Δt - इस मार्ग है, जो बिंदु एक ही समय के लिए आयोजित की जाएगी Δt, अगर यह गति च बनाए रखा' (टी), समय टी पर पहुंच गया । एक अत्यल्प Δt डी एस काल्पनिक पथ वास्तविक Δs अतिसूक्ष्म Δt के संबंध में एक उच्च आदेश होने से अलग है। समय टी में गति शून्य के बराबर नहीं है, तो अनुमानित मूल्य डी एस छोटे पूर्वाग्रह बिंदु देता है।
ज्यामितीय व्याख्या
चलो लाइन एल y = f (x) ग्राफ है। तब Δ एक्स = MQ, Δu = QM '(देखें। नीचे आकृति)। स्पर्शरेखा एम.एन. Δu दो भागों, QN और समुद्री मील दूर 'में काट टूट जाता है। सबसे पहले और Δh है आनुपातिक QN = MQ TG (कोण QMN) = Δh f '(x), टी। ई QN डीवाई अंतर है ∙।
अंतर Δu NM'daet ─ डीवाई, जब Δh → 0 समुद्री मील दूर लंबाई 'भी तेजी से तर्क की वेतन वृद्धि की तुलना में कम हो जाती है, के दूसरे भाग यानी यह smallness Δh की तुलना में अधिक के आदेश है। इस मामले में, अगर च '(x) ≠ 0 (गैर समानांतर स्पर्श OX) खंडों QM'i QN समकक्ष; दूसरे शब्दों में समुद्री मील दूर 'तेजी से कम हो जाती है (अपनी उच्च की smallness के आदेश) कुल वेतन वृद्धि Δu = QM से'। यह चित्रा (निकट खंड M'k एम NM'sostavlyaet सब कम प्रतिशत QM 'खंड) में स्पष्ट है।
तो, रेखांकन अंतर मनमाना समारोह स्पर्श के तालमेल की वेतन वृद्धि के बराबर है।
व्युत्पन्न और अंतर
अभिव्यक्ति वेतन वृद्धि समारोह के पहले कार्यकाल में एक कारक अपने व्युत्पन्न f '(x) के मूल्य के बराबर है। इस प्रकार, निम्नलिखित संबंध - डीवाई = f '(x) Δh या df (x) = f' (x) Δh।
यह ज्ञात है कि स्वतंत्र तर्क की वेतन वृद्धि अपने अंतर Δh = dx के बराबर है। तदनुसार, हम लिख सकते हैं: f '(x) dx = डीवाई।
ढूँढना (कभी कभी "निर्णय" होने के लिए कहा) भिन्नता डेरिवेटिव के लिए के रूप में ही नियम द्वारा किया जाता है। उनमें से एक सूची नीचे दी गई है।
क्या अधिक सार्वभौमिक है: तर्क या उसके अंतर की वेतन वृद्धि
यहाँ यह कुछ स्पष्टीकरण बनाने के लिए आवश्यक है। प्रतिनिधित्व मूल्य च '(x) अंतर Δh संभव है जब एक तर्क के रूप एक्स पर विचार। लेकिन समारोह के लिए एक जटिल है, जिसमें एक्स तर्क टी के एक समारोह हो सकता है हो सकता है। तब f '(x) Δh के अंतर अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व, एक नियम के रूप में, यह असंभव है; रैखिक निर्भरता एक्स = + बी पर के मामले को छोड़कर।
सूत्र च के रूप में '(x) dx = डीवाई, तो x टी की पैरामीट्रिक निर्भरता के मामले में स्वतंत्र तर्क एक्स मामले (तब dx = Δh) में, यह अंतर है।
उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 एक्स Δh y = एक्स 2 अपने अंतर जब एक्स एक तर्क है के लिए है। अब एक्स = टी 2 और हम टी तर्क मान। तो y = x 2 = टी 4।
यह (टी + Δt) 2 = टी 2 + 2tΔt + Δt 2 द्वारा पीछा किया। इसलिए Δh = 2tΔt + Δt 2। इसलिए: 2xΔh = 2t 2 (2tΔt + Δt 2)।
यह अभिव्यक्ति Δt के अनुपात में नहीं है, और इसलिए अब 2xΔh अंतर नहीं है। यह समीकरण y = x 2 = टी 4 से पाया जा सकता है। यह बराबर डीवाई = 4T 3 Δt है।
हम अभिव्यक्ति 2xdx ले, तो यह अंतर y = एक्स 2 किसी भी तर्क टी के लिए है। वास्तव में, जब एक्स = टी 2 प्राप्त dx = 2tΔt।
तो 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4T 3 .DELTA.t, टी। ई अभिव्यक्ति दो अलग चर द्वारा दर्ज की भिन्नता मेल खाना।
वेतन वृद्धि भिन्नता की जगह
यदि f '(x) ≠ 0, तो Δu और डीवाई समकक्ष (जब Δh → 0); यदि f '(x) = 0 (अर्थ और = 0 डीवाई), वे समान नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए, y = एक्स 2, तो Δu = (x + Δh) 2 ─ x 2 = 2xΔh + Δh 2 और डीवाई अगर = 2xΔh। यदि x = 3, तो हम Δu = 6Δh + Δh 2 और डीवाई = 6Δh कि बराबर कारण Δh 2 → 0 कर रहे हैं, जब x = 0 मूल्य Δu = Δh 2 और 0 डीवाई = बराबर नहीं हैं।
इस तथ्य को, अंतर की सरल संरचना के साथ एक साथ (एम। Δh के संबंध में ई रैखिकता), अक्सर अनुमानित गणना में प्रयोग किया जाता है इस धारणा पर है कि छोटे Δh के लिए Δu ≈ डीवाई। खोजें अंतर समारोह आमतौर पर आसान वेतन वृद्धि का सही मूल्य की गणना करने से है।
उदाहरण के लिए, हम बढ़त के साथ धातु घन है एक्स = 10.00 सेमी। बढ़त Δh = 0.001 सेमी। कैसे वृद्धि हुई मात्रा घन वी पर लम्बे को गर्म करने पर? हम, वी = एक्स 2 है ताकि dV = 3x 2 = Δh 3 ∙ ∙ 0 10 2/01 = 3 (सेमी 3)। बढ़ी हुई ΔV बराबर अंतर डीवी, ताकि ΔV = 3 सेमी 3। पूर्ण गणना 3 ΔV = 10,01 ─ मार्च 10 = ३.००३००१ देना होगा। लेकिन पहले अविश्वसनीय को छोड़कर सभी अंकों का परिणाम; इसलिए, यह अभी भी 3 सेमी 3 तक पूर्णांक बनाना आवश्यक है।
जाहिर है, इस दृष्टिकोण केवल अगर यह त्रुटि के साथ प्रदान किया मूल्य का अनुमान किया जा सकता है उपयोगी है।
अंतर समारोह: उदाहरण
के व्युत्पन्न खोजने समारोह y = x 3 के अंतर खोजने की कोशिश, करते हैं। हमें तर्क वेतन वृद्धि Δu देने के लिए और परिभाषित करते हैं।
Δu = (Δh + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 + Δh (Δh 3xΔh 2 + 3)।
इधर, गुणांक एक = 3x 2 Δh पर निर्भर नहीं करता है, ताकि पहले कार्यकाल आनुपातिक Δh, अन्य सदस्य 3xΔh Δh 2 + 3 है जब Δh → 0 तर्क के वेतन वृद्धि की तुलना में तेजी से कम हो जाती। नतीजतन, 3x 2 Δh के एक सदस्य y = x 3 के अंतर यह है:
डीवाई = 3x 2 Δh = 3x 2 dx या घ (एक्स 3) = 3x 2 dx।
जिसमें घ (एक्स 3) / dx = 3x 2।
समारोह y उप अब हम पाते हैं = 1 / व्युत्पन्न द्वारा एक्स। तब घ (1 / x) / dx = ─1 / एक्स 2। इसलिए डीवाई = ─ Δh / एक्स 2।
भिन्नता बुनियादी बीजीय कार्यों नीचे दिए गए हैं।
अंतर का उपयोग कर लगभग गणना
समारोह f (x) का मूल्यांकन करने के लिए, और उसके व्युत्पन्न f '(x) में एक्स = एक अक्सर मुश्किल होता है, लेकिन की एक्स = एक आसपास के क्षेत्र में भी ऐसा ही करने के लिए आसान नहीं है। फिर लगभग अभिव्यक्ति की मदद के लिए आ
च (अ + Δh) ≈ च '(क) Δh + एफ (क)।
यह एक अनुमानित अपने अंतर Δh च '(क) Δh के माध्यम से छोटे वेतन वृद्धि पर फंक्शन का मान देता है।
इसलिए, इस सूत्र भाग (एक्स = एक) और एक ही प्रारंभिक बिंदु में अंतर के प्रारंभिक बिंदु पर अपने मूल्य की राशि के रूप में लंबाई Δh के एक हिस्से के अंत बिंदु पर समारोह के लिए एक अनुमानित अभिव्यक्ति देता है। समारोह के मूल्यों का निर्धारण करने के लिए विधि की यथार्थता नीचे ड्राइंग को दिखाता है।
हालांकि जाना जाता है और समारोह एक्स = एक + Δh का मूल्य सूत्र परिमित वेतन वृद्धि द्वारा दिए गए के लिए सटीक अभिव्यक्ति (या वैकल्पिक रूप Lagrange के सूत्र)
च (अ + Δh) ≈ च '(ξ) Δh + एफ (क),
जहां बिंदु एक्स = एक + ξ से एक्स = एक एक्स = एक + Δh के अंतराल में है, हालांकि इसकी सही स्थिति अज्ञात है। सटीक सूत्र अनुमानित सूत्र की त्रुटि का मूल्यांकन करने के लिए अनुमति देता है। हम Lagrange सूत्र ξ = Δh / 2 में डाल दिया है, हालांकि यह सही नहीं रहता है, लेकिन एक नियम के रूप में, देता है, अंतर के मामले में मूल अभिव्यक्ति की तुलना में काफी बेहतर दृष्टिकोण है।
अंतर लगाने से मूल्यांकन सूत्रों त्रुटि
मापने के साधन सिद्धांत रूप में, गलत, और माप डेटा त्रुटि के लिए इसी के लिए लाने के लिए। वे सीमित की विशेषता है निरपेक्ष त्रुटि, सकारात्मक, स्पष्ट रूप से निरपेक्ष मूल्य (या कम से सबसे यह करने के लिए बराबर) में त्रुटि से अधिक -, सीमा त्रुटि संक्षेप में या,। सीमित रिश्तेदार त्रुटि भागफल मापा मूल्य का निरपेक्ष मान से विभाजित करके प्राप्त कहा जाता है।
चलो सटीक सूत्र y = f (x) समारोह vychislyaeniya y के लिए इस्तेमाल किया है, लेकिन एक्स का मान माप परिणाम है, और इसलिए y त्रुटि लाता है। फिर, सीमित निरपेक्ष त्रुटि │Δu│funktsii y को खोजने के लिए, सूत्र का उपयोग
│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,
जहां │Δh│yavlyaetsya सीमांत त्रुटि तर्क। │Δu│ मात्रा ऊपर की तरफ गोल किया जाना चाहिए, के रूप में गलत गणना ही अंतर गणना पर वेतन वृद्धि के प्रतिस्थापन है।
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