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ज्यामितीय प्रगति। निर्णय के लिए उदाहरण
एक पंक्ति में सोचें।
7 28 112 448 1792 ...
काफी स्पष्ट रूप से पता चलता है कि पिछले वास्तव में चार बार से ज्यादा उसके तत्वों में से किसी का मूल्य। इसलिए, इस श्रृंखला एक प्रगति है।
ज्यामितीय प्रगति संख्या के अनंत अनुक्रम कहा जाता है, मुख्य विशेषता है जो की है कि निम्न संख्या कुछ निश्चित संख्या से गुणा करके ऊपर से प्राप्त होता है। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त की है।
एक z +1 z · q = , जहां जेड - चयनित तत्व की संख्या।
तदनुसार, जेड ∈ एन
एक समय था जब स्कूल ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया है - 9 वीं कक्षा के। उदाहरण में मदद मिलेगी अवधारणा को समझने:
0.25 0.125 0.0625 ...
18 6 2 ...
इस सूत्र के आधार पर, इस प्रकार विभाजक की प्रगति पाया जा सकता है:
न तो q, या ख z शून्य नहीं हो सकता। इसके अलावा, के तत्वों में से प्रत्येक संख्याओं की एक श्रृंखला प्रगति शून्य नहीं होना चाहिए।
तदनुसार, एक नंबर के अगले संख्या को देखने के लिए, क्ष द्वारा उत्तरार्द्ध गुणा।
इस प्रगति को परिभाषित करने के लिए, आप इसे और हर के पहले तत्व बताना अनिवार्य है। उसके बाद यह निम्नलिखित के सदस्यों और उनके राशि में से किसी को खोजने के लिए संभव है।
जाति
क्यू और एक 1 आधार पर, यह प्रगति कई प्रकार में विभाजित है:
- तो एक 1, और क्यू एक से अधिक है, तो एक दृश्य है - एक ज्यामितीय प्रगति के बाद एक तत्व के साथ बढ़ रही है। उदाहरण उसका विवरण नीचे दिया गया।
उदाहरण: एक 1 = 3, क्यू = 2 - एकता की तुलना में अधिक है, दोनों मानकों।
तब संख्या का एक अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है:
3 से 6 12 24 से 48, ...
- यदि | क्यू | एक, अर्थात् की तुलना में कम है, यह प्रभाग द्वारा गुणा के बराबर है, इसी तरह की स्थिति के साथ प्रगति - ज्यामितीय प्रगति कम करें। उदाहरण उसका विवरण नीचे दिया गया।
उदाहरण: एक 1 = 6 q = 1/3 - एक 1 एक से अधिक है, क्ष - से कम।
तब संख्या का एक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
2 जून 2/3 ... - यह निम्नलिखित किसी भी तत्व अधिक तत्वों, 3 गुना है।
- अदल-बदल कर। यदि क्ष <0, अनुक्रम बारी की संख्या लगातार एक 1 की परवाह किए बिना के संकेत, और किसी भी वृद्धि या कमी के तत्वों।
उदाहरण: एक 1 = -3, q = -2 - शून्य से कम दोनों कर रहे हैं।
तब संख्या का एक अनुक्रम लिखा जा सकता है:
के 3, 6, -12, 24, ...
सूत्र
सुविधाजनक उपयोग के लिए, वहाँ सूत्रों के कई ज्यामितीय प्रगति कर रहे हैं:
- फॉर्मूला z-वें अवधि। यह पिछले संख्या की गणना के बिना एक विशिष्ट संख्या में तत्व की गणना की अनुमति देता है।
उदाहरण: q = 3, एक = 1 4. चौथी तत्व प्रगति की गणना करने के लिए आवश्यक।
समाधान: एक = 4 4 3 · 4-1 · 3 = 4 3 = 4 · 27 = 108।
- पहली तत्वों का योग है, जिनकी संख्या के बराबर है जेड। यह z समावेशी करने के लिए एक दृश्य में सभी तत्वों का योग की गणना की अनुमति देता है।
≠ 0, इस प्रकार, क्ष नहीं 1 है - (क्यू 1) के बाद से (1 क्यू), तो हर में है।
नोट: यदि q = 1, तो प्रगति बेहद संख्या दोहरा के एक नंबर का प्रतिनिधित्व किया है।
राशि तेजी से उदाहरण हैं: 1 = 2, q = -2। एस 5 की गणना।
समाधान: एस 5 = 22 - गणना सूत्र।
- राशि अगर | क्ष | <1 और z अनंत को जाता है।
उदाहरण: एक 1 = 2, q = 0.5। योग का पता लगाएं।
समाधान: एस z = 2 एक्स = 4
हम मैनुअल के कई सदस्यों के योग की गणना करते हैं, तो आपको लगता है कि यह वास्तव में चार के लिए प्रतिबद्ध है देखेंगे।
एस z = 1 + 0.5 + 2 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4
कुछ गुण:
- एक विशेषता संपत्ति। तो निम्न स्थिति यह मानती है किसी भी जेड के लिए है, तो एक संख्यात्मक श्रृंखला दिया - ज्यामितीय प्रगति:
एक जेड 2 = एक जेड -1 · एक z + 1
- यह किसी भी संख्या का वर्ग किसी भी पंक्ति के अन्य दो नंबर के वर्गों के अलावा के माध्यम से तेजी से है, अगर वे तत्व से समान दूरी पर हैं भी है।
2 एक z = एक z - टी 2 + एक z + टी 2 जहां टी - इन नंबरों के बीच की दूरी।
- तत्वों क्ष गुना से भिन्न होते हैं।
- प्रगति के तत्वों के लघुगणक के साथ-साथ एक निश्चित संख्या से उनमें से पिछले एक से अधिक प्रत्येक, वह है, एक प्रगति है, लेकिन गणित के रूप में।
कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण
के लिए बेहतर समझने के लिए क्या एक ज्यामितीय प्रगति, ग्रेड 9 के लिए निर्णय उदाहरण के साथ कर सकते हैं।
- नियम और शर्तें: एक 1 = 3, एक 3 = 48. ढूँढें क्ष।
समाधान: पिछले क्ष से भी अधिक में प्रत्येक उत्तरोत्तर तत्व समय। यह विभाजक के माध्यम से अन्य के माध्यम से कुछ तत्वों को व्यक्त करने के लिए आवश्यक है।
नतीजतन, एक 3 = q 2 · एक 1
कब प्रतिस्थापन q = 4
- शर्तें: एक 2 = 6, एक = 3 12. गणना एस 6।
समाधान: ऐसा करने के लिए, यह फोर्मुले में क्ष, पहला तत्व और स्थानापन्न लगाने के लिए पर्याप्त होता है।
एक 3 = q · एक 2, फलस्वरूप, q = 2
एक 2 = q · एक 1 है, तो एक = 1 3
एस = 6 189
- · एक 1 = 10, q = -2। प्रगति के चौथे तत्व का पता लगाएं।
समाधान: यह पहली बार के माध्यम से और भाजक के माध्यम से चौथे तत्व को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है।
4 3 = q · एक = 1 -80
आवेदन उदाहरण:
- बैंक ग्राहक 10,000 रूबल की राशि, जिसके तहत हर साल मूल राशि के लिए ग्राहक हालांकि यह का 6% जोड़ दिया जाएगा योगदान दिया है। पैसा कितना 4 साल के बाद खाते में है?
समाधान: 10 हजार रूबल के बराबर प्रारंभिक राशि। तो, एक साल खाते में निवेश के बाद राशि 10000 + 10000 = 10000 · 0.06 · 1.06 के बराबर हो जाएगा
तदनुसार, खाते में राशि के बाद भी एक वर्ष के रूप में व्यक्त किया जाएगा इस प्रकार है:
(10000 · 1.06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
यही कारण है, हर साल राशि 1.06 गुना की वृद्धि हुई है। इसलिए, 4 साल के बाद खाते का नंबर लगाने के लिए, यह एक चौथा तत्व प्रगति है, जो 10 हजार करने के लिए पहली बराबर तत्व दिया जाता है, और हर 1.06 के बराबर लगता है पर्याप्त होता।
एस = 1.06 · 1.06 1.06 · · 1.06 = · 10000 12625
की राशि की गणना में समस्याओं के उदाहरण:
विभिन्न समस्याओं में ज्यामितीय प्रगति का उपयोग कर। योग को खोजने का एक उदाहरण निम्नानुसार सेट किया जा सकता है:
एक 1 = 4, q = 2, एस 5 की गणना।
समाधान: गणना के लिए सभी आवश्यक आंकड़े में जाना जाता है, बस उन्हें फोर्मुले में स्थानापन्न।
एस 5 = 124
- एक 2 = 6, एक = 3 18. गणना पहले छह तत्वों की राशि।
समाधान:
Geom। पिछले क्ष बार की तुलना में अगले बड़े के प्रत्येक तत्व की प्रगति, वह है, राशि की गणना करने के लिए आप तत्व एक 1 और हर क्ष पता करने की जरूरत।
एक 2 · q = एक 3
q = 3
इसी तरह, एक 1, 2 और जानने क्ष को खोजने के लिए की जरूरत है।
एक 1 · q = एक 2
एक 1 = 2
और फिर यह सूत्र राशि में जाना जाता है डेटा से प्रतिस्थापित करने का पर्याप्त होता।
एस 6 = 728।
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