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रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली। रैखिक बीजीय समीकरणों के सजातीय प्रणाली
स्कूल में, हम में से प्रत्येक समीकरण का अध्ययन किया और, निश्चित रूप से, समीकरणों के सिस्टम। लेकिन बहुत से लोगों को पता है कि उन्हें हल करने के कई तरीके हैं कि। आज हम रैखिक बीजीय समीकरण, जो दो से अधिक समीकरणों से बने होते हैं की एक प्रणाली को सुलझाने के लिए वास्तव में सभी तरीकों देखेंगे।
कहानी
आज हम जानते हैं कि समीकरण और अपने सिस्टम को सुलझाने की कला प्राचीन बेबीलोन और मिस्र में जन्म लिया है। हालांकि, उनके परिचित रूप में समानता बराबर के चिह्न "=" है, जो 1556 में अंग्रेजी गणितज्ञ रिकॉर्ड द्वारा शुरू की गई थी की घटना के बाद हमारे लिए दिखाई दिया। वैसे, इस प्रतीक एक कारण के लिए चुना गया था: यह दो समानांतर बराबर खंडों का मतलब है। दरअसल, समानता का सबसे अच्छा उदाहरण ऊपर नहीं आती है।
आधुनिक अभिलेख के संस्थापक और अज्ञात हद तक का प्रतीक, फ्रांसीसी गणितज्ञ Fransua वियतनामी। हालांकि, इसकी पद आज से काफी अलग है। उदाहरण के लिए, एक अज्ञात नंबर के एक वर्ग वह अक्षर Q (। अक्षां "quadratus"), और घन द्वारा नामित - (। अक्षां "CUBUS") पत्र सी। इन प्रतीकों अब असहज लग रहे हैं, लेकिन फिर यह सबसे सहज तरीका रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली लिखने के लिए किया गया था।
हालांकि, समाधान के मौजूदा तरीकों में एक नुकसान यह है कि गणितज्ञों केवल सकारात्मक जड़ों पर विचार किया था। शायद यह तथ्य यह है कि ऋणात्मक मानों किसी भी व्यावहारिक अनुप्रयोग की जरूरत नहीं है की वजह से है। एक तरह से या किसी अन्य रूप है, लेकिन पहले नकारात्मक जड़ों के बाद इतालवी गणित निकोलो टार्टागलिया, गेरोलामो कार्डानो और रफ़ैल बोम्बेली 16 वीं सदी में शुरू हुआ माना जाता है। आधुनिक स्वरूप, के हल के लिए मुख्य विधि द्विघात समीकरण (विभेदक के माध्यम से) डेसकार्टेस और न्यूटन का काम करता है के माध्यम से ही 17 वीं सदी में स्थापित किया गया था।
18 वीं सदी के स्विस गणितज्ञ के बीच में गेब्रियल क्रेमर रेखीय समीकरण आसान की व्यवस्था के समाधान बनाने के लिए एक नया रास्ता मिल गया। इस विधि बाद में उनका नाम दिया गया है, और इस दिन के लिए हम इसे का उपयोग करें। लेकिन क्रेमर की बात की विधि एक छोटे से बाद में, लेकिन अब के लिए हम प्रणाली से अलग से रेखीय समीकरण और उनके समाधान पर चर्चा करेंगे।
रेखीय समीकरण
रेखीय समीकरण - चर (रों) के साथ सरल समीकरण। वे बीजीय के हैं। रेखीय समीकरण सामान्य रूप में लिखा इस प्रकार है: एक 1 * एक्स 1 + 2 * एक्स 2 + ... और n * एक्स एन = ज। इस प्रपत्र प्रस्तुत करना हम सिस्टम को तैयार करने में की जरूरत है और पर matrices होगा।
रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली
इस अवधि की परिभाषा है: समीकरण आम अज्ञात और सामान्य समाधान है कि का एक सेट। आमतौर पर, स्कूल में सभी दो या यहां तक कि तीन समीकरणों के साथ एक प्रणाली को हल किया। लेकिन वहाँ चार या अधिक घटकों के साथ सिस्टम हैं। चलो पहले देखते हैं कि कैसे इतना है कि बाद में इसे हल करने के लिए सुविधाजनक था उन्हें नीचे लिखने के लिए। 1,2,3 और इतने पर: सबसे पहले, रैखिक बीजीय समीकरणों के सिस्टम बेहतर करता है, तो सभी चर के रूप में इसी सूचकांक के साथ एक्स लिखा जाता है दिखेगा। दूसरे, यह विहित प्रपत्र के लिए सभी समीकरणों का नेतृत्व करना चाहिए: एक 1 * एक्स 1 + 2 * एक्स 2 + ... और n * एक्स एन = ज।
इन सभी चरणों के बाद, हम आपको बताएँगे कि रेखीय समीकरण की व्यवस्था के समाधान खोजने के लिए शुरू कर सकते हैं। उस के लिए बहुत ज्यादा काम मैट्रिक्स में आ जाएगा।
मैट्रिक्स
मैट्रिक्स - कि पंक्तियों और स्तंभों के होते हैं एक मेज, और उसके तत्वों उनके चौराहे पर हैं। यह या तो एक विशिष्ट मूल्य या चर हो सकता है। ज्यादातर मामलों में, तत्वों है कि सबस्क्रिप्ट (जैसे, एक 11 या 23 अच्छी तरह से) के नीचे व्यवस्थित कर रहे हैं नामित करने के लिए। स्तंभ - पहली सूचकांक पंक्ति संख्या, और दूसरा इंगित करता है। ऊपर और किसी भी अन्य गणितीय तत्व के रूप में ऊपर मैट्रिक्स विभिन्न कार्यों प्रदर्शन कर सकते हैं। इस प्रकार, आप कर सकते हैं:
1) घटाएँ और तालिका के एक ही आकार जोड़ें।
2) किसी भी संख्या या वेक्टर के लिए मैट्रिक्स गुणा करें।
3) स्थानांतरित: स्तंभों में मैट्रिक्स लाइनों को बदलने, और स्तंभों - लाइन में।
4) मैट्रिक्स गुणा, अगर पंक्तियों की संख्या उन में से एक कॉलम की एक अलग संख्या के बराबर है।
विस्तार से चर्चा करने के लिए इन तकनीकों के सभी, के रूप में वे भविष्य में हमारे लिए उपयोगी होते हैं। घटाव और मैट्रिक्स के अलावा बहुत सरल है। जब से हम एक ही आकार मैट्रिक्स लेते हैं, एक मेज के प्रत्येक तत्व हर दूसरे तत्व से संबंधित है। इस प्रकार हम (घटाना) इन तत्वों में से दो (यह महत्वपूर्ण है कि वे अपने मैट्रिक्स में एक ही जमीन पर खड़े थे) जोड़ें। जब मैट्रिक्स या वेक्टर की संख्या से गुणा तो आप बस उस संख्या (या वेक्टर) द्वारा मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व गुणा। स्थानांतरण - एक बहुत ही दिलचस्प प्रक्रिया। बहुत दिलचस्प कभी कभी, वास्तविक जीवन में उसे देखने के लिए, उदाहरण के लिए जब एक गोली या फोन के उन्मुखीकरण को बदलने। डेस्कटॉप पर माउस एक मैट्रिक्स है, और स्थिति का एक परिवर्तन के साथ, यह स्थानांतरित कर रहा है और व्यापक हो जाता है, लेकिन ऊंचाई में कम हो जाती है।
हमें इस तरह के रूप में और अधिक एक प्रक्रिया की जांच करें आव्यूह गुणन। हालांकि उन्होंने हमें बताया है, और उपयोगी नहीं है, लेकिन यह अभी भी उपयोगी है बारे में पता होना। गुणा दो मैट्रिक्स केवल शर्त के तहत किया जा सकता है कि एक तालिका में स्तंभों की संख्या अन्य पंक्तियों की संख्या के बराबर है। अब एक मैट्रिक्स लाइन तत्वों और संगत स्तंभ के अन्य तत्वों ले लो। उन्हें एक दूसरे के लिए और फिर राशि के गुणा (: एक * ख 11 12 + 12 * ख और 22 जैसे कि, उदाहरण के लिए, तत्वों 11 और 12 और 12 बी और 22 ख में का एक उत्पाद के बराबर होगा)। इस प्रकार, एक एकल तालिका आइटम, और एक विधि यह करने के लिए इसी तरह के आगे भर जाता है।
अब हम रेखीय समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए कैसे विचार करने के लिए शुरू कर सकते हैं।
गॉस
इस विषय स्कूल में जगह लेने के लिए शुरू कर दिया। हम बहुत अच्छी तरह से "दो रेखीय समीकरण प्रणाली" की अवधारणा को जानते हैं और कैसे उन्हें हल करने में पता है। लेकिन क्या समीकरणों की संख्या दो से अधिक होता है तो क्या होगा? यह हमें मदद मिलेगी गॉस विधि।
बेशक, इस विधि का उपयोग करने के लिए यदि आप प्रणाली के एक मैट्रिक्स बनाने के लिए सुविधाजनक है। लेकिन आप इसे बदलने और अपने आप ही तय नहीं कर सकता।
तो, कैसे रेखीय समीकरण गॉस की एक प्रणाली द्वारा इसे हल करने की? वैसे, यहां तक कि इस विधि हालांकि और उसके नाम से है, लेकिन प्राचीन काल में यह पता चला। गॉस अंततः सोपानक फार्म के लिए समग्रता में परिणाम की, एक ऑपरेशन के समीकरणों के साथ किया जाता है। यही कारण है कि आप एक अज्ञात कम हो पिछले समीकरण को ऊपर से नीचे (अगर सही ढंग से जगह) पहले से करने की जरूरत है, है। दूसरे शब्दों में, हम, कि हम मिल गया है सुनिश्चित करने की आवश्यकता कहते हैं, तीन समीकरणों: प्रथम - तीन अज्ञात, दूसरे में - तीसरे में दो - एक। फिर, पिछले समीकरण से, हम पहले अज्ञात मिल जाए, दूसरे या पहले समीकरण में अपने मूल्य स्थानापन्न, और आगे शेष दो चर पाते हैं।
क्रेमर का शासन
इस तकनीक के विकास के लिए, मैट्रिक्स के घटाव, साथ ही जरूरत निर्धारकों को खोजने के लिए सक्षम होने के लिए इसके अलावा के कौशल में महारत हासिल करने के लिए महत्वपूर्ण है। इसलिए, यदि आप असहज यह सब कर रहे हैं या पता नहीं कैसे, यह आवश्यक जानने के लिए और प्रशिक्षित किया जाना है।
इस विधि का सार क्या है, और ऐसा करने के लिए कैसे, रेखीय समीकरण क्रेमर की एक प्रणाली पाने के लिए? यह बहुत आसान है। हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के गुणांकों नंबर की एक मैट्रिक्स के निर्माण के लिए (लगभग हमेशा) की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, बस अज्ञात की संख्या लेते हैं, और हम आदेश है कि वे प्रणाली में दर्ज कर रहे हैं में एक टेबल की व्यवस्था। तो इससे पहले कि नंबर एक संकेत है "-", तो हम नकारात्मक गुणांक लिखें। तो, हम बराबर के चिह्न के बाद नंबर सहित नहीं अज्ञात के गुणांकों के पहले मैट्रिक्स बनाया है, (जाहिर है, समीकरण विहित प्रपत्र को कम किया जा करने के लिए जब सही सिर्फ एक संख्या है, और बाएँ है कि - सभी गुणांक के साथ अज्ञात)। तो फिर तुम कुछ मैट्रिक्स बनाने की जरूरत है - प्रत्येक चर के लिए एक। इस प्रयोजन के लिए पहले मैट्रिक्स में एक स्तंभ से बराबर के चिह्न के बाद गुणांक के साथ प्रत्येक स्तंभ संख्या बदल दिया है। इस प्रकार हम कुछ मैट्रिक्स और फिर उनके निर्धारकों पाते हैं।
के बाद हम क्वालिफायर पाया, यह छोटे है। हम एक प्रारंभिक मैट्रिक्स है, और वहाँ कई व्युत्पन्न मैट्रिक्स, जो विभिन्न चर के अनुरूप हैं। एक प्रणाली समाधान पाने के लिए, हम तालिका के प्राथमिक निर्धारक पर जिसके परिणामस्वरूप तालिका के निर्धारक विभाजित करते हैं। जिसके परिणामस्वरूप नंबर एक चर का मान है। इसी तरह, हम सब अज्ञात पाते हैं।
अन्य तरीकों
वहाँ आदेश रेखीय समीकरण की व्यवस्था के समाधान प्राप्त करने के लिए कई विधियां हैं। उदाहरण के लिए, एक तथाकथित गॉस-जोर्डन विधि है, जो द्विघात समीकरण की व्यवस्था के समाधान ढूँढने के लिए प्रयोग किया जाता है, और यह भी मैट्रिक्स के उपयोग से संबंधित है। वहाँ भी रैखिक बीजीय समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए एक जैकोबी तरीका है। वह आसानी से सभी कंप्यूटरों के लिए adapts और कंप्यूटिंग में प्रयोग किया जाता है।
जटिल मामलों
यदि समीकरणों की संख्या चर की संख्या से कम है जटिलता आम तौर पर होता है। फिर हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि, या सिस्टम असंगत है (यानी, कोई जड़ है), या अपने फैसलों की संख्या अनंत को जाता है। हम दूसरे मामले हैं - यह रेखीय समीकरण प्रणाली के सामान्य समाधान लिखने के लिए आवश्यक है। यह कम से कम एक चर शामिल होंगे।
निष्कर्ष
यहाँ हम अंत करने के लिए आते हैं। संक्षेप में: हम समझने के लिए प्रणाली मैट्रिक्स, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के सामान्य समाधान खोजने के लिए सीखा है। इसके अलावा हम अन्य विकल्पों पर विचार किया। हम पता लगा रेखीय समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए कैसे: गाऊसी उन्मूलन और क्रेमर के शासन। हम मुश्किल मामलों और समाधान ढूँढने के अन्य तरीकों के बारे में बात की थी।
वास्तव में, इस मुद्दे को और अधिक व्यापक है, और यदि आप बेहतर यह समझना चाहते हैं, तो हम आपको विशेष साहित्य के अधिक पढ़ने के लिए।
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