एक नियमित बहुभुज नियमित बहुभुज के पक्ष की संख्या

त्रिकोण, वर्ग, षट्भुज - ये आंकड़े लगभग सभी के लिए जाना जाता है लेकिन हर कोई नहीं जानता कि एक नियमित बहुभुज क्या है। लेकिन ये सभी एक ही ज्यामितीय आंकड़े हैं। एक नियमित बहुभुज एक है जिसके बराबर कोण और पक्ष हैं इस तरह के बहुत सारे आंकड़े हैं, लेकिन उन सभी के पास एक ही गुण हैं, और उसी सूत्र उनके पास लागू होते हैं।

नियमित बहुभुजों की संपत्ति

किसी भी नियमित बहुभुज, यह एक वर्ग या एक अष्टकोना हो, एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है। आकृति का निर्माण करते समय यह मूल संपत्ति अक्सर उपयोग की जाती है इसके अलावा, सर्कल को बहुभुज में भी लिखा जा सकता है। इस मामले में, संपर्क के अंक की संख्या अपने पक्षों की संख्या के बराबर होगी। यह महत्वपूर्ण है कि एक नियमित बहुभुज में अंकित एक वृत्त के साथ एक सामान्य केंद्र होगा ये ज्यामितीय आंकड़े एक प्रमेय के अधीन हैं नियमित एन-गैन के किसी भी हिस्से को इसके बारे में सर्किरक आर के त्रिज्या के साथ जुड़ा हुआ है। इसलिए, यह निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: a = 2R ∙ sin180 ° सर्कल के त्रिज्या के माध्यम से , आप न केवल पक्षों को पा सकते हैं, बल्कि बहुभुज के परिधि भी मिल सकते हैं।

नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या कैसे प्राप्त करें

किसी भी नियमित एन-गोन में कई बराबर वर्ग होते हैं जो एक साथ एक बंद लाइन बनाते हैं। इस मामले में, गठित आंकड़े के सभी कोणों का मूल्य समान होता है। बहुभुज को सरल और जटिल रूप में विभाजित किया गया है। पहले समूह में त्रिकोण और एक वर्ग शामिल हैं। जटिल बहुभुजों के अधिक पक्ष हैं वे तारकीय आंकड़े भी शामिल करते हैं। जटिल नियमित बहुभुजों के लिए, उन्हें मंडली में एक वृत्तचित्र में मिलाकर पाया जाता है हम सबूत देते हैं पक्षों की एक मनमाना संख्या n के साथ एक नियमित बहुभुज बनाएं इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें त्रिज्या आर निर्दिष्ट करें। अब कल्पना करें कि कुछ एन-गोन दिए गए हैं। यदि उसके कोण के अंक एक वृत्त पर झूठ हैं और एक दूसरे के बराबर हैं, तो पक्ष सूत्र से पा सकते हैं: a = 2R ∙ sinα: 2

अंकित दायां त्रिभुज के किनारे की संख्या ढूँढना

एक समभुज त्रिकोण एक नियमित बहुभुज है इसे करने के लिए सूत्र वर्ग के समान लागू होते हैं, और एन-गॉन। त्रिभुज को सही माना जाएगा यदि इसके पास पक्ष की समान लंबाई है। एंगल्स 60 के बराबर हैं। हम एक दी गई लंबाई के साथ त्रिकोण का निर्माण करते हैं। अपनी औसत और ऊंचाई जानने के बाद, आप अपने पक्षों का महत्व पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र = a = x: cosα के माध्यम से खोजने की विधि का उपयोग करते हैं, जहां x मध्य या ऊंचाई है चूंकि त्रिकोण के सभी पक्ष समान हैं, इसलिए हम a = b = c प्राप्त करते हैं। इसके बाद निम्नलिखित तर्क होगा: a = b = c = x: cosα इसी प्रकार, एक समद्विबाहु त्रिकोण में पक्षों का मान पा सकते हैं, लेकिन एक्स एक निश्चित ऊंचाई होगा इस मामले में, यह आंकड़ा के आधार पर कड़ाई से पेश किया जाना चाहिए। इस प्रकार, ऊँचाई एक्स जानने के लिए, हम पक्ष को a = b = x: कोसा द्वारा एक समद्विबाहु त्रिभुज का पता लगाते हैं। ए के मूल्य को खोजने के बाद, हम बेस c की लंबाई की गणना कर सकते हैं। हम पायथागोरस के प्रमेय को लागू करते हैं हम बेस c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ टीजीए के आधे हिस्से के मूल्य की खोज करेंगे। फिर सी = 2xgα इस सरल तरीके से कोई भी कूटबद्ध बहुभुज के पक्षों की संख्या पा सकते हैं।

किसी मंडली में अंकित एक वर्ग के पक्ष की गणना करना

किसी भी अन्य अंकित नियमित बहुभुज की तरह, वर्ग के बराबर पक्ष और कोण हैं। उसी सूत्र त्रिकोण के अनुसार इसे लागू होते हैं वर्ग के पक्ष की गणना विकर्ण के मूल्य के माध्यम से हो सकती है। आइए इस पद्धति को और विस्तार से देखें। यह ज्ञात है कि विकर्ण आधा में कोण को विभाजित करता है शुरू में, इसका मान 90 डिग्री था। इस प्रकार, विभाजन के बाद, दो आयताकार त्रिभुज बनते हैं। आधार पर उनके कोनों 45 डिग्री के बराबर होंगे। तदनुसार, वर्ग के प्रत्येक पक्ष के बराबर होगा, वह है: a = c = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, जहां ई वर्ग के विकर्ण है, या विभाजन के बाद बनाई गई सही त्रिकोण का आधार। यह एक वर्ग के पक्ष को खोजने का एकमात्र तरीका नहीं है। हम एक वृत्त में इस आकृति को लिखेंगे। इस चक्र आर के त्रिज्या को जानने के लिए, हम वर्ग की तरफ पाते हैं। हम इसे निम्नानुसार गणना करेंगे: ए 4 = आर 2 नियमित बहुभुज की त्रिज्या को सूत्र = एक: 2 टीजी (360 ^ओ: 2 एन) द्वारा गणना की जाती है, जहां एक ओर की लंबाई है।

एन-गॉन की परिधि की गणना कैसे करें

एक एन-गॉन की परिधि उसके सभी पक्षों का योग है गणना करें कि यह मुश्किल नहीं है ऐसा करने के लिए, आपको सभी पार्टियों के अर्थ को जानने की जरूरत है विशिष्ट प्रकार के बहुभुजों के लिए, विशेष सूत्र हैं। वे आपको परिधि को अधिक तेज़ी से ढूंढने की अनुमति देते हैं। यह ज्ञात है कि किसी भी नियमित बहुभुज के बराबर पक्ष हैं इसलिए, इसकी परिधि की गणना करने के लिए, उनमें से कम से कम एक को जानने के लिए पर्याप्त है। सूत्र संख्या के पक्षों की संख्या पर निर्भर करेगा। सामान्य तौर पर, यह इस तरह दिखता है: पी = ए, जहां एक साइड वैल्यू है, और एन को कोण की संख्या है उदाहरण के लिए, 3 सेमी की तरफ एक नियमित अष्टकोना की परिधि को खोजने के लिए, 8 से गुणा करें, यह है कि, पी = 3 ∙ 8 = 24 सेमी। 5 सेमी की तरफ एक षट्भुज के लिए, गणना करें: पी = 5 ∙ 6 = 30 सेमी प्रत्येक बहुभुज में से

एक समानांतरचित्र, एक वर्ग और एक समभुज के परिधि को ढूँढना

नियमित बहुभुज के कितने पक्षों के आधार पर इसकी परिधि की गणना करें। यह बहुत काम सरल है। आखिरकार, अन्य आंकड़ों के विपरीत, इस मामले में आपको अपने सभी पक्षों को देखने की जरूरत नहीं है, केवल एक। उसी सिद्धांत से, हम चतुर्भुज की परिधि, अर्थात्, वर्ग और समभुज इस तथ्य के बावजूद कि ये अलग-अलग आंकड़े हैं, उनके लिए फार्मूला पी = 4 ए है, जहां एक पक्ष है हम एक उदाहरण देते हैं। यदि हीरे या वर्ग की तरफ 6 सेमी है, तो हम परिधि को निम्नलिखित तरीके से खोजते हैं: पी = 4 ∙ 6 = 24 सेमी। समांतरलोग्राम में, केवल विपरीत पक्ष बराबर होते हैं। इसलिए, इसकी परिधि एक अलग विधि का उपयोग कर पाया जाता है। इसलिए, हमें आंकड़े की चौड़ाई और चौड़ाई को जानने की जरूरत है। फिर हम सूत्र = P = (a + b) ∙ 2 को लागू करते हैं। एक समांतरभुज, जिसमें सभी पक्ष और कोण समान हैं, को एक समभुज कहा जाता है।

समबाहु त्रिभुज की परिधि और एक सही त्रिकोण ढूँढना

एक नियमित समभुज त्रिभुज की परिधि सूत्र = 3 ए द्वारा पाई जा सकती है, जहां एक साइड लम्बाई है। यदि यह अज्ञात है, तो यह औसत के माध्यम से पाया जा सकता है एक आयताकार त्रिकोण में, केवल दो पक्षों का बराबर मूल्य है। आधार पायथागॉरियन प्रमेय के माध्यम से पाया जा सकता है। सभी तीनों पक्षों के मूल्यों को ज्ञात होने के बाद, परिधि की गणना करें यह सूत्र पी = ए + बी + सी को लागू करके पाया जा सकता है, जहां ए और बी समान पक्ष हैं, और सी आधार है। याद रखें कि समद्विबाहु त्रिकोण में ए = बी = ए, फिर ए + बी = 2 ए, फिर पी = 2 ए + सी। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज का पक्ष 4 सेमी है, हम इसका आधार और परिधि पाते हैं हम पाइथोगोरियन प्रमेय के अनुसार कोपोटोसिस के मूल्य की गणना ² = √16 + 16 = √32 = 5.65 सेमी के साथ सी = √ ^{2 2} +। अब परिधि पी = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 सेमी की गणना करें।

नियमित बहुभुज के कोनों को कैसे खोजें

एक नियमित बहुभुज हमारे जीवन में हर दिन होता है, उदाहरण के लिए, एक साधारण वर्ग, त्रिकोण, एक अष्टकोना। ऐसा प्रतीत होता है कि यह आंकड़ा खुद बनाने से कुछ भी आसान नहीं है लेकिन यह सिर्फ पहली नज़र में है। किसी भी एन-गोन का निर्माण करने के लिए, इसके कोणों के मूल्य को जानना आवश्यक है। लेकिन उन्हें कैसे ढूंढें? प्राचीन वैज्ञानिक भी नियमित बहुभुजों का निर्माण करने की कोशिश करते थे। वे एक सर्कल में उन्हें फिट करने के लिए अनुमान लगाया। और फिर उन्होंने उन पर आवश्यक बिंदुओं को चिह्नित किया, उन्हें सीधी रेखाओं से जोड़ा। सरल आंकड़ों के लिए, निर्माण की समस्या का समाधान किया गया था। सूत्र और प्रमेयों प्राप्त किए गए थे। उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध कार्य "द बिगिनिंग" में 3-, 4-, 5-, 6- और 15-गोन के लिए समस्याओं को सुलझाने में व्यस्त था। उन्होंने एंगल के निर्माण और ढूंढने के तरीके ढूंढ़े। यह विचार करें कि यह 15-गॉन के लिए कैसे करें। पहले आपको इसके आंतरिक कोणों की राशि की गणना करने की आवश्यकता है सूत्र S = 180⁰ (n-2) का उपयोग करना आवश्यक है तो, हमें 15-गोन दिया जाता है, इसलिए संख्या 15 है। हम सूत्र में हमें ज्ञात आंकड़ों का स्थान और एस = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ एच 13 = 2340⁰ प्राप्त करते हैं। हमें 15-गोन के सभी आंतरिक कोणों का योग मिला। अब आपको उनमें से प्रत्येक का मान प्राप्त करना होगा। कुल कोण 15. 2340⁰ की गणना करो: 15 = 156⁰ इसलिए, प्रत्येक आंतरिक कोण 156⁰ है, अब शासक की सहायता से और आप सही 15-गन का निर्माण कर सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल एन-गैन्स के बारे में क्या? कई शताब्दियों के लिए वैज्ञानिकों ने इस समस्या को हल करने के लिए संघर्ष किया है। यह केवल 18 वीं शताब्दी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पाया था वह 65537-गोन का निर्माण करने में सक्षम था। तब से, समस्या आधिकारिक तौर पर पूरी तरह से हल हो गई है।

रेडियन में एन-गोन के कोणों की गणना

बेशक, बहुभुजों के कोणों को खोजने के कई तरीके हैं। अक्सर वे डिग्री में गणना कर रहे हैं लेकिन आप उन्हें रेडियन में अभिव्यक्त कर सकते हैं। यह कैसे करें? निम्नानुसार आगे बढ़ना आवश्यक है। सबसे पहले, हम एक नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या समझते हैं, फिर इसे 2 से घटा देते हैं। तो, हमें मूल्य मिलता है: n - 2. n ("pi" = 3.14) के अंतर को गुणा करें। अब यह केवल एन-गोन में कोणों की संख्या से प्राप्त उत्पाद को विभाजित करने के लिए बना रहता है। एक ही पन्द्रह-कोने वाले त्रिभुज के उदाहरण पर इन गणनाओं पर विचार करें। इसलिए, संख्या n 15 है। चलो सूत्र = S (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72 सूत्र लागू करें। यह निश्चित रूप से, रेडियन में कोण की गणना करने का एकमात्र तरीका नहीं है। आप संख्या 57.3 द्वारा केवल डिग्री के कोण के आकार को विभाजित कर सकते हैं। सब के बाद, इतने सारे अंश एक राडोण के बराबर हैं।

गणना में कोणों की गणना

डिग्री और रेडियन के अलावा, आप ओलों में एक नियमित बहुभुज के कोणों को ढूँढ़ने का प्रयास कर सकते हैं। यह निम्नानुसार किया जाता है कोणों की कुल संख्या से, 2 घटाएं, नियमित बहुभुज के पक्षों की संख्या से परिणामस्वरूप अंतर विभाजित करें। नतीजा 200 से गुणा किया जाता है। वैसे, एंगल की माप की एक इकाई, ओलों के रूप में, व्यावहारिक रूप से प्रयोग नहीं किया जाता है।

एन-गैंस के बाहरी कोणों की गणना

किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, भीतर के अलावा, बाहरी कोण को भी गणना करना संभव है इसका अर्थ उसी तरह पाया जाता है जैसे शेष आंकड़ों के लिए। इसलिए, एक नियमित बहुभुज के बाहरी कोने को खोजने के लिए, आपको आंतरिक बहुभुज का अर्थ जानना चाहिए। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इन दो कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री है। इसलिए, हम गणनाओं को निम्नानुसार करते हैं: 180 डिग्री से कम आंतरिक कोण का मान। हम अंतर पाते हैं यह उसके आस-पास के कोण के मूल्य के बराबर होगा। उदाहरण के लिए, वर्ग का आंतरिक कोने 90 डिग्री है, फिर बाहरी कोने 180⁰-90⁰ = 90 will होगा। जैसा कि हम देखते हैं, इसे ढूंढना मुश्किल नहीं है बाहरी कोण क्रमशः + 180⁰ से, -180 से मूल्य ले सकता है।